58. Криволинейное движение. Движение по окружности (основной урок)

Понятие о криволинейном движении

Согласно первому и второму законам Ньютона,

1) изменение скорости вызвано силой,

2) если силы не действуют или их равнодействующая равна нулю, тело движется равномерно (с постоянной скоростью) и прямолинейно (движение вдоль прямой).

Если не удовлетворяется хотя бы один из этих признаков, значит, на тело действует сила.

Сегодня мы рассмотрим случай, когда тело движется равномерно, но НЕ прямолинейно. Это значит, оно проходит равные отрезки пути за равные промежутки времени, но движется по криволинейной траектории. Или, по-другому говоря, это значит, что модуль вектора остается постоянным, а направление движения меняется.

Пусть автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, повернул на какой-то угол.

Глядя на спидометр, вы скажете, что скорость не изменилась. Но на самом деле не изменилась только абсолютная величина (модуль вектора) скорости. Векторыи, имея одинаковое абсолютное значение (которое показывает стрелка спидометра), не равны – у них разные направления.

Это изменение скорости и составляет ускорение. Это ускорение создано силой трения (сцепления) с дорожным покрытием. За некий отрезок времени произошло изменение скорости.

Задача

Человек идёт с постоянной скоростью 5 км/ч, затем поворачивает на 90° и продолжает идти с той же скоростью. Как изменилась скорость на углу?

Решение

Изменение скорости – это разность векторов конечной и начальной скорости. Чтобы вычесть два вектора, нужно сложить вектори вектор(по длине равный векторуи противоположный ему по направлению). Обозначим векторы на рисунке.

Сумма векторовибудет диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Т. к. поворот был на 90° и значение скорости не изменялось, то разность векторовиобразует диагональ квадрата, поэтому направлена, как показано на рисунке, и равна

.

Задача

Автомобиль, не сбавляя скорости (40 км/ч), делает круговой вираж (с радиусом 20 м) и поворачивает на 90°. Каким было ускорение на вираже?

Скорость – вектор. Изменение скорости есть разность векторов начальной и конечной скорости:

И ускорение соответственно: 

Время поворота – это путь, пройденный при повороте, делённый на модуль скорости: 

Разность скорости можно найти двумя путями:

1) как в предыдущей задаче,

2) алгебраически: пусть координаты направлены так, как показано на рисунке:

тогда:

Ответ:.

В алгебраическом решении ясно видно, почему даже при сохранении абсолютного значения скорости изменение направления движения требует применения силы: тело прекратило движение по координате х и начало движение по координате у.

Для решения рассмотренных примеров необходимо:

Знать:

• Определение ускорения как быстроты изменения скорости:

  .

Уметь:

• Находить разность векторов.

Понимать:

• Скорость – вектор, обладающий как абсолютным значением, так и направлением, поэтому изменение хотя бы одного из этих показателей является изменением скорости. Быстрота изменения скорости и есть ускорение.

Равномерное движение по окружности. Частота и период. Угловая и линейная скорость

Рассмотрим движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Главной особенностью такого движения будет повторяемость, периодичность, в отличие от рассмотренных ранее видов прямолинейного движения.

Ветка. Примеры периодических явлений в природе

Многие явления имеют периодический характер: смена дня и ночи, смена времен года. Здесь ясно, ЧТО является периодом: сутки и год соответственно.

Есть и другие периоды: пространственные:

• узор с периодически повторяющимися элементами:

• ряд деревьев, расположенных с равными интервалами:

• периоды в записи чисел:
  
  

Также периоды в музыке, стихах.

Периодические явления описываются тем, ЧТО происходит за период, и ДЛИНОЙ этого периода. Например: суточный цикл – восход-заход солнца и период – время, за которое всё повторяется, – 24 часа. Пространственный узор – что в узоре и как часто он повторяется (или его длина), в десятичном представлении обыкновенной дроби ЧТО – это последовательность цифр в периоде (то, что стоит в скобках) и длина / период – количество цифр: в 1/3 – одна цифра, в 1/17 – 16 цифр.

Временные периоды:

Период обращения Земли вокруг своей оси = день + ночь = 24 ч.

Период обращения Земли вокруг Солнца = 365 периодов обращения день + ночь (приблизительно).

Период обращения часовой стрелки по циферблату – 12 часов, минутной – 1 час.

Период колебания маятника часов – 1 секунда.

Период измеряют в общепринятых единицах времени (секунда в СИ, минута, час и т. д.).

Период узора измеряли бы в единицах длины (м, см), период в десятичной дроби – в количестве цифр в периоде.

Мы сейчас занимаемся механикой, перемещением тел во времени. Это значит, нас интересуют временные периоды.

Временной период – это время, за которое совершается одно повторение процесса. Если за время t произошло N повторений, то одно повторение произошло за время, это и есть период, который обычно обозначают T: .

Рассматривая периодичные события, часто удобно определять, как часто происходило событие, т. е. сколько раз за единицу времени.

Частота появления Солнца за год – 365 раз.

Частота появления полной Луны за год – 12, иногда – 13 раз.

Частота весны за год – 1 раз.

То есть для определения частоты мы берём достаточно большой отрезок времении определяем, сколько раз это явление происходит за этот отрезок:– частота, которую обычно обозначают: 

.

Частота и период – взаимно обратные величины,  или.

Если колесо делает оборот за 0,5 с (период), то за 1 секунду колесо успеет сделать 2 оборота, (частота). И если оно будет делать один оборот за 4 с, то за секунду оно сделаетоборота.

Равномерное движение по окружности – типичный пример периодического процесса. Например, движение стрелки часов, Земли вокруг Солнца (форма орбиты близка к окружности), карусели, движение автомобиля по выпуклому мосту (движение по дуге, а дуга является частью окружности). Все эти явления описываются в одних терминах и одними уравнениями.

Говоря о периоде, мы имели в виду время T, за которое тело сделает полный оборот, т. е. повернется на 360° или на 2π радиан. А на какой угол будет поворачиваться тело за каждую секунду? Понятно, что на. Полученная величина называется угловой скоростью (обозначается ω) – угол, на который поворачивается тело за единицу времени (по аналогии с линейной скоростью, которая показывает расстояние, на которое переместилось тело за единицу времени): 

Задача

Тело прошло полный круг радиусом R за Т с. Найдите перемещение, путь, угловую и линейную скорость тела.

Решение

Тело после прохождения круга оказалось в той же точке, что и в начале пути, перемещение равно нулю.

Путь при этом равен длине окружности: 

Угловая скорость равна углу, на который оборачивается тело за единицу времени. За время T тело совершило полный оборот, то есть повернулось наугол 2π радиан, тогда угловая скорость: 

Линейная скорость – это показания спидометра, если телом является автомобиль. Линейная скорость направлена по касательной к траектории. Это путь, который проходит тело за единицу времени. Путь за время T мы уже вычислили: 

.

Заметим, что с учётомлинейная скорость равна .

Угловая и линейная скорость характеризуют, как быстро тело движется по окружности. В зависимости от задачи нам интересна та или иная характеристика, например, полицейский, наблюдая движение автомобиля по кольцевой, следит за линейной скоростью автомобиля, не уточняя, какой угол по окружности он проходит. В часах для нас главное, что секундная стрелка делает один оборот за 60 с, её угловая скорость равна, и нас не интересует, что конец секундной стрелки при этом движется с разной линейной скоростью в зависимости от размера часов.

Задача

С какой скоростью должен двигаться по круговой орбите спутник, чтобы постоянно находиться над одной точкой экватора на высоте 36 000 км?

Решение

Скорость спутника равна: 

.

Поскольку спутник постоянно находится над одной точкой, период его обращения равен периоду вращения Земли:ч.

Поскольку радиус орбиты – это сумма радиуса Земли и высоты спутника над Землей:, то получим: 

Скорость равна .

Центростремительное ускорение

Итак, тело движется по окружности, значит, перемещается, проходит путь, имеет скорость. Скорость постоянна по модулю, но меняет направление, а при любом изменении скорости есть ускорение. Когда автобус поворачивает, нас прижимает к окну, сила, с которой окно действует на нас, придаёт это ускорение; при вращении груза на верёвке ускорение придаёт сила натяжения верёвки. Найдём ускорение для равномерного движения по окружности.

Движение по круговой траектории – это одновременно движение к центру круга и движение по касательной к радиусу. Эти две составляющие движения и должны в сумме составлять окружность.

Возьмём окружность с центром в (0,0) и радиусом R. Из точки (0, R) по касательной вылетает тело со скоростью.

За малое время t оно переместится напо касательной и пройдёт к центру с ускорением а путь, равный. Для того чтобы оно оставалось на окружности, нужно, чтобы прикоордината у тела равнялась, то есть нужно, чтобы тело пролетело по направлению к центру расстояние. Но при малых а и, значит, при малых t .

Задача

Автобус движется по закруглению дороги радиусом 20 м с постоянной скоростью. На пассажира массой 70 кг оказывала давление стенка автобуса силой 350 Н. Чему равна скорость автобуса?

Решение

Пассажир вместе с автобусом движется по окружности с ускорением. Это ускорение вызвано силой давления стенки, и оно равно, по второму закону Ньютона: 

.

Но при равномерном движении по окружности ускорение выражается через скорость. Следовательно, имеем: 

.

Остается выразить и вычислить скорость.

Сцеплённые шестерни

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью выполняется одно из условий первого закона Ньютона: тело движется равномерно. Действительно, за равные промежутки времени тело проходит одинаковые дуги окружности. То есть у него постоянная угловая скорость.

Задача

С какой скоростью едет велосипедист, если он делает 20 оборотов педалей за 1 мин, диаметр передней шестерни – 30 см, задней – 10 см, диаметр колеса – 80 см?

Решение

В задаче 3 вращающихся тела: две шестерни и колесо. При этом шестерни связаны цепью, которая является непрерывной, поэтому все её точки движутся с одной линейной скоростью. Задняя шестерня сцеплена с колесом таким образом, что их угловые скорости равны (колесо и шестерня поворачиваются на один и тот же угол за один интервал времени). Опишем эти движения математически.

Велосипедист делает 20 оборотов педалей, а значит, и передней шестерни, на 1 минуту. Линейная скорость точек на краю передней шестерни равна пройденному пути (путь за 1 оборот – длина окружности, значит, за N оборотов –), делённому на затраченное время: 

.

Линейные скорости краев шестерён равны:.

Угловые скорости задней шестерни и колеса тоже равны: .

Для задней шестерни и для колеса связь линейной и угловой скорости:

В любой момент времени нижняя точка обода колеса связана с землёй, значит,– это скорость земли относительно оси колеса.

Значит, скорость оси (а значит, и всего велосипеда) относительно земли тоже будет равна по модулю

Получили систему уравнений:

Решив систему, найдём.

Решение задач

Задача

Стартуя из точки А (см. рис.), спортсмен движется равноускоренно до точки В, в которой он закругляет траекторию, сохраняя постоянными модуль скорости и ускорения вплоть до точки С. Во сколько раз время, затраченное спортсменом на участок ВС, больше, чем на участок АВ? Траектория ВС – полуокружность.

Решение

На участке АВ спортсмен двигался равноускоренно прямолинейно, на участке ВС – равномерно по окружности. Опишем движение на этих участках известными нам законами. При прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости за времяспортсмен пройдёт путь: .

И приобретет скорость: .

При движении по окружности центростремительное ускорение равно(– конечная скорость на участке АВ) и равно по модулю ускорению на прямолинейном участке: 

.

Скорость равна пути (половина окружности), делённому на время:

Получили систему уравнений, решив которую получим отношение:

Свёртка. Математическая часть решения задачи

Выразим из второго уравнения ускорениеи подставим в третье:

Подставим скорость из четвертого уравнения:

Первое уравнение оказалось неиспользованным, в задаче не оговаривалась длина участка АВ, а лишь скорость, которую спортсмен приобрел за время бега.

Задача

Автомобиль делает поворот по дуге АВ радиуса R с ускорением. Сразу после поворота автомобиль начинает разгоняться вдоль отрезка ВС с ускорениемдо скорости. Какой путь пройдёт автомобиль при разгоне?

Решение

Автомобиль движется равномерно по окружности и равноускоренно прямолинейно. При движении по окружности центростремительное ускорение равно: 

Двигаясь с начальной скоростьюи ускорением, автомобиль пройдёт путь: 

И приобретёт скорость:.

Остаётся решить систему уравнений: 

 и найти путь.

Заключение

На этом уроке мы изучили:

криволинейное движение; равномерное движение по окружности; центростремительное ускорение; сцеплённые шестерни.

Теперь вы можете приступать к решению задач на криволинейное движение и равномерное движение по окружности.

На следующем уроке мы повторим и обобщим наши знания по кинематике и потренируемся решать задачи.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Свободное падение тел» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

2. Урок «Задачи на движение с ускорением свободного падения» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

3. Урок «Движение по окружности с постоянной скоростью» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

4. Урок «Движение тела по криволинейной траектории. Движение по окружности. Характеристики вращательного движения. Центростремительное ускорение» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

5. Урок «Равномерное движение по окружности» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

6. Урок «Энергия. Закон сохранения энергии» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

7. Урок «Решение задач на тему «Закон сохранения энергии» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

8. Урок «Закон сохранения энергии. Работа силы трения» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)