35. Работа электрического поля. Потенциал и напряжение (основной урок)

Потенциал. Энергия и работа электрического поля по перемещению заряда

Для некоторых параметров часто важно не их значение, а изменение, разность двух значений. Например, мы говорим: «Встретимся через два часа», и этого в определенных обстоятельствах достаточно. Будь сейчас полдень или часов вечера, до вашей встречи все равно пройдет два часа. Так же в кинематике мы обращались и с положением тела в пространстве: нас часто интересует перемещение – разность координат. Перемещение не зависит от того, где мы выбрали начало координат.

Сегодня мы будем изучать энергию электрического поля. На уроке, посвященном закону сохранения энергии, мы говорили о произволе в выборе нулевого уровня энергии. Нас чаще интересует ее изменение, которое происходит при совершении работы, а не абсолютное значение. Проведем аналогию с энергией гравитационного взаимодействия.

Камень массой , поднятый на высоту , изменил свою потенциальную энергию на величину . Над ним была произведена работа величины . И теперь, когда он скатится с горы, над ним совершит работу сила тяжести.

Разница его потенциальной энергии на уровне и уровне  и есть . Энергия единицы массы на высоте  равна . То есть  – это приведенная к единице массы потенциальная энергия. Для любой массы разница энергий на высоте и  будет равна . Величина , как мы видим, не зависит от массы тела, характеризует само гравитационное поле Земли и равно работе по переносу массы на высоту , деленной на эту массу.

Посмотрим, как ввести аналог приведенной на единицу массы потенциальной энергии в электрическом поле. На заряд , находящийся в поле другого заряда, закрепленного в некой точке пространства, действует сила Кулона  (пусть это будет сила отталкивания, то есть заряды одноименные). Эта сила может переместить заряд , совершив при этом работу.

Значит, система двух зарядов, находящихся на конечном расстоянии, обладает потенциальной энергией, зависящей от величины зарядов и расстояния между ними.

Рассмотрим величину, равную этой энергии, деленной на . Эта величина уже не зависит от заряда  и характеризует только поле заряда . Эта величина – функция места в пространстве – называется потенциалом поля.

Разность потенциалов двух точек, умноженная на величину заряда , равна работе, необходимой для перемещения этого заряда в поле. То есть разность потенциалов двух точек поля – это работа по перемещению единичного заряда.

Как и в поле сил тяжести, эта работа не зависит от пути и является функцией только начальной и конечной точек. Такое поле называют консервативным (оно «консервируется» – сохраняет своё значение при изменении пути). В курсе динамики мы изучали такие поля.

Мы уже говорили, что энергия – величина, требующая для измерения задания «начала отсчета». Так, в поле гравитации мы можем считать нулевой потенциальную энергию тела, находящегося на уровне моря. Тогда изменения потенциальной энергии будут пропорциональны высоте над уровнем моря.

То есть для численного определения энергии нужно задать некую точку отсчета. В случае поля, создаваемого зарядом, естественно считать нулевой потенциальной энергией некого заряда, находящегося в поле, – его энергию на бесконечном удалении от заряда, в поле которого он находится. Это точка отсчета для потенциальной энергии поля заряда. Потенциал поля в данной точке равен работе по перемещению единичного заряда из этой точки на бесконечность.

Давайте найдем работу силы электростатического взаимодействия по перемещению заряда, а также потенциал поля как функцию координат. Перед нами поставлена задача.

Задача

Положительный заряд  находится на расстоянии  от положительного заряда . Какую работу совершит электрическое поле при перемещении заряда вдоль радиуса в точку, отдаленную на  от ?

Решим задачу в два шага. Мы можем находить работу, воспользовавшись определением работы. По определению работа равна силе, умноженной на перемещение: . В данном случае действует сила электрического взаимодействия, по закону Кулона .

Сила и перемещение в нашем случае сонаправлены,  и . Так мы можем находить работу для случая, когда сила постоянна, здесь же сила изменяется по мере отдаления зарядов. С подобной проблемой мы сталкивались на уроке, посвященном равноускоренному движению в кинематике. Обозначим перемещение заряда . По мере перемещения заряда сила изменяется, но на малом (в сравнении с расстоянием до заряда ) отрезке можем считать силу постоянной, а работу постоянной силы мы находить умеем.

Работа, совершаемая силой Кулона на таком малом отрезке ,  равна , где  можно принять постоянной на всем отрезке.

Тогда работа при перемещении на расстояние  будет равна сумме работ на  участках (), на каждом из которых сила Кулона постоянна и равна . Эта сумма равна .

Вывод этой формулы вы можете проследить в ответвлении.

Мы знаем, что работа связана с энергией. Система обладает энергией, если силы, возникающие в системе, могут выполнить работу (в нашем случае это сила электрического взаимодействия системы зарядов). Работа равна уменьшению потенциальной энергии (чем больше работа уже выполнена, тем меньше возможность еще выполнить):

Сравнив с выражением , делаем вывод, что  – это потенциальная энергия  взаимодействия двух зарядов, формулу для которой полезно запомнить.

Ранее мы приняли: потенциальная энергия заряда, отдаленного от источника электрического поля на бесконечность, равна нулю. Посмотрим на полученную формулу , действительно,  будет равна нулю на бесконечном отдалении от заряда , т.к.  при .

Рассмотрим, как полученный результат соотносится с нашей моделью, в которой мы обозначили разноименные заряды знаками плюс и минус. Если заряды одноименные, то потенциальная энергия взаимодействия положительна . Система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией:

- камень на некоторой высоте  над поверхностью земли, предоставленный самому себе, будет падать вниз, т.е. уменьшать высоту и с ней потенциальную энергию ;

- деформированная пружина, предоставленная самой себе, будет стремиться в состояние с нулевой деформацией и нулевой потенциальной энергией .

Действительно, заряды будут отталкиваться и сила электрического взаимодействия будет вызывать перемещение заряда на большее расстояние, потенциальная энергия  будет уменьшаться.

Если заряды разноименные, то потенциальная энергия взаимодействия  имеет знак минус. Заряды притягиваются, и сила их взаимодействия вызывает перемещение заряда на меньшее расстояние, потенциальная энергия  уменьшится.

Энергия заряда в поле заряда , равная , зависит от величин обоих зарядов. Характеристика поля, созданного зарядом, естественно не должна зависеть от величины помещенного в него заряда. Разделим  на :  – эта величина называется потенциалом электрического поля, обозначается буквой . Эта характеристика поля показывает, какой энергией обладает положительный заряд, помещённый в данную точку поля. Как и энергия, потенциал – скалярная величина, измеряется в вольтах.

В нашем случае  – потенциал поля точечного заряда. Точка отсчета потенциалов в нашем случае естественным образом является бесконечно отдаленной точкой. В зависимости от задачи точкой отсчета выбирают также потенциал поверхности земли, потенциал отрицательно заряженной пластины конденсатора или потенциал любой другой точки, удобной для решения задачи.

Таким образом, пользуясь определением потенциала, можно вычислить потенциальную энергию заряда, находящегося в поле (), и работу поля по перемещению заряда из точки с потенциалом  в точку с потенциалом : .

Электрическое поле является консервативным, его работа не зависит от траектории движения заряда, а зависит только от перемещения.

Заряд всегда распределен на каком-то теле, имеющем протяженность. На расстояниях, много больших размеров тела, поле слабо зависит от объема и формы этого тела, и потому модели точечного заряда достаточно.

Рассмотрим потенциал заряженного металлического шара радиусом  с зарядом .

Когда мы рассматривали напряженность электрического поля заряженного шара, мы считали, что на расстояниях , т.е. вне шара, он создает такое же поле, как и точечный заряд , расположенный в центре шара, и это можно доказать, используя инструменты математического анализа. Потенциал поля при  также эквивалентен потенциалу поля точечного заряда: .

Внутри шара потенциал во всех точках одинаковый и равен потенциалу на поверхности шара: .

Потенциал подчиняется принципу суперпозиции. При наличии нескольких источников поля складываются как векторы напряженности поля, так и потенциалы: .

Задача

Найдите потенциал электрического поля в точке , которая находится на расстоянии  от одного из двух одноименных зарядов , как показано на рисунке. Расстояние между зарядами равно .

Потенциал поля точечного заряда равен . Расстояние от второго заряда до точки  вычислим по теореме Пифагора. Тогда потенциалы полей, созданных зарядами в точке , будут равны: .

По принципу суперпозиции потенциал в точке равен: .

Подведем краткие итоги. Для решения задач на энергию и потенциал электрического поля нужно следующее.

Знать

1) Формулу для вычисления потенциальной энергии взаимодействия электрических зарядов.

2) Определение потенциала – энергетической характеристики поля.

3) Потенциал поля точечного заряда.

4) Принцип суперпозиции.

Понимать

Потенциал – энергетическая характеристика поля, он не зависит от помещенного в поле заряда. Электрическое поле консервативно, его работа по перемещению заряда зависит лишь от начальной и конечной точки и не зависит от траектории движения.

Разность потенциалов. Напряжение

В одной из предыдущих задач мы нашли работу силы, с которой поле воздействует на электрический заряд как , т.е. работа поля равна разности потенциалов, умноженной на перемещенный заряд. Применение разности потенциалов удобно тем, что она не зависит от выбора нулевого уровня. Зная ее, легко находим работу поля при перемещении заряда из одной точки в другую, и нам часто нужно знать именно ее, а не работу по перемещению заряда, например, на бесконечность. Поэтому ввели величину напряжение, которое является разностью потенциалов и обозначается : .

Напряжение – разность значений потенциала в начальной и конечной точках траектории. Численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда из начальной точки (с потенциалом ) в конечную (с потенциалом ). Измеряется, как и потенциал, в вольтах.

Задача

Заряд  движется в поле двух зарядов  и , которые находятся на расстоянии  друг от друга. Найдите работу, выполненную при перемещении заряда  из точки  в точку , если .

Решение

Мы бы могли находить работу как силу на перемещение, но такое решение было бы сложным: в каждой точке сила, действующая на заряд , по принципу суперпозиции равняется векторной сумме сил со стороны зарядов  и , причем в каждой точке менялось бы как абсолютное значение силы, так и ее направление.

Применим рассмотренный сегодня более простой способ: запишем работу из определения разности потенциалов: . В точках и потенциал равен сумме потенциалов первого и второго зарядов в этих точках:

Применив теорему Пифагора для , получили систему уравнений, которую осталось решить:.

Задача

Металлический шар установлен на тонком проводящем стержне, соединяющем его с землёй. Шар окружен незаряженной металлической сферой, радиусом , изолированной от земли, центр сферы совпадает с центром шара. При передаче сфере электрического заряда  между шаром и сферой возникла разность потенциалов . Определите радиус шара.

Решение

По условию задачи: . Мы знаем, что внутри шара или сферы потенциал одинаков во всех точках, и потенциал шара был бы равен потенциалу сферы.

Но по условию шар соединен с землей, а ее потенциал равен нулю, поэтому шар приобретет заряд , противоположный по знаку заряду сферы. Теперь по принципу суперпозиции потенциалы шара и сферы равны соответственно:

(т.к. шар соединен с землей)

Получили систему уравнений, которую остается решить:

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач, подобных рассмотренным, нужно следующее.

Знать

1) Определение потенциала – энергетической характеристики поля.

2) Физический смысл разности потенциалов в двух точках – работы, которую выполняет сила электрического взаимодействия при перемещении единичного положительного заряда между этими точками.

3) Принцип суперпозиции.

Уметь

1) Применять определение потенциала.

2) Учитывать все источники поля, создающие электрическое поле в данной точке.

Эквипотенциальные поверхности

Потенциал поля точечного заряда в данной точке равен . Как видим из выражения, он зависит только от значения заряда-источника поля и расстояния данной точки до него. На заданном расстоянии  от заряда лежит множество точек, образующих сферу радиусом  и имеющих одинаковый потенциал .

Такие поверхности, все точки которых имеют один и тот же потенциал, называются эквипотенциальными. Очевидно, что разность потенциалов между точками, принадлежащими одной эквипотенциальной поверхности, равна нулю, , значит, и работа по переносу заряда между точками одной эквипотенциальной поверхности равна нулю, . Из механики мы помним, что работа равна нулю, если перемещение перпендикулярно силе, потому что работа равна: , а при

 .

Сила, действующая на заряд в электрическом поле, направлена вдоль линий напряженности. Для поля точечного заряда линии напряженности направлены вдоль радиуса окружности с зарядом в центре. Эквипотенциальные поверхности представляют собой сферы с зарядом в центре, а радиус всегда перпендикулярен поверхности сферы, т.е. условие  выполняется, эквипотенциальная поверхность в любой точке перпендикулярна линиям напряженности поля.

Для поля двух зарядов эквипотенциальные поверхности будут отличаться от сферы. Строим по тому же принципу: эквипотенциальная поверхность в любой точке перпендикулярна линиям напряженности поля. Вид эквипотенциальных поверхностей для одноименных и разноименных зарядов показан на рисунках.

Также выполняется правило: вектор напряженности электрического поля направлен в сторону уменьшения потенциала. Его даже не нужно запоминать: вектор напряженности электрического поля направлен в ту сторону, куда предположительно будет двигаться положительный заряд, если его поместить в данное поле. В то же время заряд будет двигаться в такое положение, в котором его потенциальная энергия будет меньше. Следовательно, вектор напряженности электрического поля направлен в сторону уменьшения потенциала.

Однородное электрическое поле

Мы рассмотрели электрическое поле точечного заряда: рассмотрели потенциальную энергию его взаимодействия с помещенным в него зарядом, рассмотрели потенциал поля в данной точке и разность потенциалов.

На практике также часто работают с однородным электрическим полем. Однородным называют электрическое поле, в котором напряженность одинакова по модулю и направлению в любой точке пространства.

Приблизительно однородным является электрическое поле между двумя разноименно заряженными плоскими металлическими пластинами. Линии напряженности однородного электрического поля параллельны друг другу.

На заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила , которая вызовет перемещение заряда, т.е. выполнить работу по его перемещению. Найдем эту работу.

Поле однородно, значит, на заряд действует постоянная сила, можем применить формулу для работы: .

Сегодня мы ввели энергетическую характеристику электрического поля – потенциал. Работа выражается через разность потенциалов: .

Остановимся подробнее на потенциалах электрического поля. Работа электрического поля при перемещении заряда из точки в точку с одинаковыми потенциалами равна нулю. Такие точки образуют эквипотенциальную поверхность. Нулевой уровень, относительно которого нужно отсчитывать потенциальную энергию и соответственно потенциал, выбирается произвольно, исходя из удобства при решении задачи.

Как должен перемещаться заряд, чтобы работа по его перемещению равнялась нулю? Перпендикулярно линиям напряженности электрического поля, т.е. эквипотенциальные поверхности в случае однородного электрического поля являются плоскостями, перпендикулярными вектору .

И, переместившись из точки в точку , заряд фактически перемещается с одной эквипотенциальной поверхности на другую, расстояние между которыми равно .

Приравняв оба выражения для работы, которые мы записывали выше ( и ), получим: .

Мы получили связь разности потенциалов и напряженностью для однородного электрического поля.

По определению работа равна силе на перемещение, с этим согласуется полученный результат: энергетическая характеристика поля (помним о связи работы и энергии) равна силовой характеристике поля на расстояние, на которое предположительно переместится помещенный в поле заряд.

Задача

Расстояние между двумя параллельными пластинами, которые имеют одинаковые по модулю заряды: одна положительный, вторая отрицательный – составляет . Пробный положительный заряд сначала расположен на расстоянии  от положительно заряженной пластины, а затем перемещается в точку на расстоянии  от отрицательно заряженной пластины. Как изменяется потенциальная энергия пробного заряда в электрическом поле пластин относительно отрицательно заряженной пластины?

Анализ условия

- рассматривается перемещение заряда в электрическом поле.

- поле создано параллельными пластинами, его можно считать однородным.

- уровень нулевой потенциальной энергии задан: эквипотенциальная поверхность, потенциал которой равен нулю, – отрицательно заряженная пластина.

Решение

По определению потенциала  запишем выражение для потенциальной энергии: .

Поле однородное, его напряженность между пластинами постоянна, потенциал запишем через напряженность: . Здесь  – это расстояние от эквипотенциальной поверхности с потенциалом  до поверхности, потенциал которой принят нулевым. Тогда потенциальная энергия равна .

Для нашей задачи потенциальная энергия в двух заданных положениях равна соответственно:

Найдем отношение потенциальных энергий заряда в двух точках:

Ответ: потенциальная энергия уменьшится в раза.

Решение задач

Применим полученные знания на практике. Обратим внимание еще раз на то, что изученный сегодня материал взаимосвязан с тем, что мы изучали ранее: в случае с силами, действующими на заряд в электрическом поле, выполняются законы Ньютона, потенциальная энергия подчиняется закону сохранения – всё это мы используем при решении задач, как и раньше.

Задача

Маленький шарик с зарядом и массой , подвешенный на невесомой нити с коэффициентом упругости , находится между вертикальными пластинами плоского воздушного конденсатора. Расстояние между обкладками конденсатора . Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора, если удлинение нити ?

Анализ условия

- в задаче описано неподвижное тело, на которое действуют силы, поэтому будем применять первый закон Ньютона.

- на заряженный шарик, помещенный в электрическое поле, действует сила , а также сила тяжести и сила упругости со стороны нити.

- напряженность однородного электрического поля связана с разностью потенциалов на пластинах: .

Решение

Выберем систему координат. Удобно направить оси координат вдоль направлений  и , как показано на рисунке.

По первому закону Ньютона запишем: . В проекциях на выбранные оси соответственно и :

По закону Гука сила упругости по модулю равна: . Как мы говорили, анализируя условие, для силы  запишем: .

Подставив выражения для сил в первый закон Ньютона, записанный в проекциях, получим систему уравнений, решив которую найдем разность потенциалов: .

Задача

Отрицательно заряженная пластина, создающая вертикально направленное однородное электрическое поле напряженностью , укреплена на горизонтальной плоскости. На нее с высоты  падает шарик массой , имеющий положительный заряд . Какой импульс шарик передаст пластине при абсолютно упругом ударе с ней?

Анализ условия

- в задаче идёт речь об абсолютно упругом ударе и высоте, с которой что-то падает, – почти наверняка понадобится закон сохранения энергии. В системе действуют консервативные силы.

- давайте посмотрим, какие превращения энергии здесь происходят. В момент падения шарик обладает потенциальной энергией в поле тяжести относительно уровня пластины: .

- и потенциальной энергией в электрическом поле – относительно той же пластины: .

- эти две энергии составляют всю механическую энергию замкнутой системы «шарик-пластина».

- в процессе падения обе потенциальные энергии постепенно переходят в кинетическую энергию, которая становится максимальной в момент падения шарика: .

Решение

Поскольку по закону сохранения энергии полная механическая энергия замкнутой системы остаётся неизменной, мы можем записать, что .

Нас просят найти импульс, переданный пластине в момент удара. В момент удара можем считать систему шарика и пластины замкнутой: действием сил тяжести и электрического взаимодействия можем пренебречь, т.к. их влияние за короткое время упругого удара мало по сравнению с силами упругости, возникающих при столкновении. В замкнутой системе суммарный импульс не изменяется, значит импульс, переданный пластине, равен импульсу, который потеряет шарик. Найдем изменение импульса шарика .

Направим ось координат по ходу движения шарика после удара, тогда запишем в проекции на выбранную ось: .

Получили систему уравнений, решив которую найдем изменение импульса: .

Подведем краткие итоги. Для решения задач по электростатике, подобных рассмотренным, нужно следующее.

Знать

1) Законы динамики.

2) Закон Кулона.

3) Определения напряженности и потенциала электрического поля как силовой и энергетической характеристики поля.

Уметь

1) Применять определения напряженности и потенциала электрического поля.

2) Определять эквипотенциальные поверхности заданного поля.

Понимать

Электрическое взаимодействие подчиняется изученным нами ранее законам динамики.

Заключение

На этом уроке мы изучили:

Работу электрического поля; Потенциал и напряжение.

Теперь вы можете решать данный класс задач по электростатике.

На следующем уроке мы обсудим:

Поведение проводников и диэлектриков во внешнем электрическом поле; Конденсаторы; Энергию электрического поля конденсатора. 

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Потенциал электрического поля. Разность потенциалов (Физика, 10 класс)

2. Разность потенциалов (Физика, 10 класс)

3. Электрическое поле (Физика, 10 класс)