46. Работа. Мощность. КПД (основной урок)

Механическая работа (векторы силы и перемещения сонаправлены)

Когда мы используем понятие работы? Например, рабочий устал, потому что проделал большую работу: перенес 200 кирпичей с первого этажа на второй.

Мы хорошо знаем, что он в это время делал: прикладывал к кирпичам силу. Но только ли в силе дело? Наверняка, если бы он переносил кирпичи на третий этаж, он бы выполнил бОльшую работу, а если он бы толкал неподвижную стену, никакой работы не было бы выполнено, хотя рабочий бы устал.

Значит, перемещение тоже играет роль. Сегодня мы четко определим понятие работы в физике.

 Оно близко к бытовому понятию работы, но нужно понимать важный момент. В бытовом представлении работу выполняет человек, двигатель или другой субъект. В физике определение должно быть четким: субъект работы – сила. Поэтому работа, выполненная при действии нескольких сил, равна сумме работ, выполненных каждой силой по отдельности.

Как мы увидели на примере: работа тем больше, чем больше приложенная сила и чем больше пройденный путь. Рассмотрим пока случай, когда направления векторов силы и перемещения совпадают, работа в физике определяется именно так –, т.е. как физическая величина, пропорциональная силе и перемещению.

Работа связана с перемещением, с движением, а причиной движения является сила, что мы изучили в разделе «Динамика». Поэтому ничего принципиально нового здесь нет: сила вызывает движение и сила совершает работу – один и тот же процесс. Работа силы – способ передачи механического движения и энергии от одного тела к другому.

Соответственно, единицей работы является произведение единицы силы на единицу пути, то есть Н∙м. У этой единицы есть собственное наименование – джоуль (Дж).

Рассмотрим такой пример: с крыши дома высотой h упал камень массой m. Вычислите работу, которую выполнила сила тяжести.

Работа – это сила на перемещение. Сила тяжести, действовавшая на камень, равна, перемещение равно h (камень упал с крыши на землю), работа равна.

Важно заметить, что нам безразлично, придавала ли данная сила ускорение телу. Рассмотрим ту же задачу, но с условием, что камень не падает, а осторожно с постоянной скоростью опускается на веревке.

Сила тяжести будет та же, как и перемещение, поэтому работа будет та же,.

Механическая работа (общий случай)

Нам важно лишь то, как сила участвует в движении, в какой степени она на него влияет. Но не всегда сила направлена туда же, куда и перемещение. Рассмотрим нашу задачу с новым условием: камень опускают по наклонной траектории под углом α к вертикали.

На перемещение S влияет только та составляющая силы тяжести, которая направлена вдоль перемещения, т.е. проекция силы тяжести на направление перемещения. Из прямоугольного треугольника проекция силы тяжести равна, работа равна. Поскольку перемещение увеличилось, , окончательно работа равна .

Мы получили формулу для работы в общем виде, где косинус угла между силой и перемещением показывает степень участия силы в перемещении вдоль данного направления. Работа – это скалярное произведение силы и перемещения.

Ветка. Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов: 

Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними. Результат данной операции – число, скаляр.

Заметим, что  – это проекция вектора  на направление вектора . 

Из определения следует, что скалярное произведение векторов – это число, характеризующее взаимное расположение векторов.

 Формула показывает частный случай: сила и перемещение сонаправлены, т.е. угол между ними равен 0 и.

Вернемся к задаче о камне и рассмотрим другой частный случай, когда сила и перемещение направлены в противоположные стороны. Найдем теперь работу силы натяжения веревки, на которой камень спускают вертикально.

Находим работу по той же формуле. Перемещение равно всё той же высоте дома. Сила натяжения веревки по величине равна.

Ветка. Почему

Откуда мы взяли, что. Задача на движение тела, на которое действуют силы. Нам не важны размеры камня, поэтому можем считать его материальной точкой и применить второй закон Ньютона. По условию камень опускается равномерно, ускорение равно нулю, значит, и равнодействующая действующих на него сил равна нулю, т.е. сила натяжения компенсирует силу тяжести,

Угол между противоположно направленными векторами равен 180°. Теперь у нас всё есть для нахождения работы:.

Результат согласуется с нашими представлениями: когда сила направлена не вдоль направления перемещения, а против него, мы получили отрицательную работу, и, действительно, сила не способствует движению, а противодействует ему.

 Ветка. Про направления

Давайте посмотрим, влияет ли на знак работы выбор системы координат. У нас есть тело, которое поднимается, т.е. движется вверх. Рассмотрим работу силы тяжести. Сила тяжести направлена вниз.

Попробуем направить ось координат вверх и вниз.

В первом случае перемещение положительно, сила отрицательна. Работа будет равна.

Во втором случае перемещение отрицательно, сила положительна. Работа будет равна.

Таким образом, если сила выполняет отрицательную работу в данном направлении, то это происходит независимо от выбора системы координат, поэтому выбор делаем, как удобнее для решения задачи

Рассмотрим еще один случай: камень не опускали, а переместили горизонтально на расстояние.

Тогда работа силы натяжения нити равна, сила натяжения работу не совершает. Совершает работу сила тяги , под действием которой груз будет перемещаться горизонтально, эта сила совершит работу по перемещению груза.

Здесь результат тоже логичен: проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю, поэтому эта сила не влияет на движение тела в данном направлении и, соответственно, не совершает работы по перемещению в данном направлении.

Ветка. Противоречие жизненному опыту

Кажется, что это не согласуется с нашим жизненным опытом. Если груз тяжелый и нести его далеко, то человек устает, а мы утверждаем, что работы по перемещению груза он не совершает. Дело в том, что чувство усталости не всегда определяется работой как физической величиной, человек устает от длительного напряжения мышц, расхода химической энергии, накопления продуктов обмена. При этом механическая работа выполняется в процессе сокращения мышц. Сила, направленная перпендикулярно движению, либо не изменяет скорость тела, либо меняет только ее направление, а не модуль. Изменить модуль скорости может такая сила, которая имеет ненулевую проекцию на направление перемещения

Как видим, во всех случаях работает одно общее выражение:.

Задача

Какую работу надо совершить, чтобы заставить поезд массой 800 т: а) увеличить свою скорость от 36 до 54 

; б) остановиться при начальной скорости 72 ?

Решение

а) Задача на работу, пользуемся определением работы:. Сразу можно оговорить, что при увеличении скорости ускорение (а значит, и сила) направлено по ходу движения тела, поэтому угол и.

.

Нам не известна ни сила, ни перемещение. Будем искать: у нас есть движущееся тело, которое меняет скорость, поэтому можем применять второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на поезд, вызывает его ускорение,.Тогда работа равна. В задаче тело движется, даны его скорости, поэтому можем пользоваться закономерностями из кинематики. Движение прямолинейное равноускоренное, поэтому для ускорения можем записать , а для пути .

Математическое решение, получаем .

На следующем уроке разберем это более подробно, но можем заметить, что и – это кинетическая энергия, т.е. работа была затрачена на увеличение кинетической энергии.

б) решение задачи будет то же, только будет отличаться знак окончательного ответа, т.к.. Работа отрицательная.

Задача

На рисунках (a) – (d) тело движется вправо в положительном направлении оси x. Во всех четырех случаях его перемещение и модуль действующей на него силы одинаковы. В каком случае рисунке расположены в порядке убывания значения работы, произведенной силой (от самой большой до самой малой с учетом знака).

 (1) d, c, a, b                (2) c, a, b, d                (3) c, a, d, b

 Анализ условия

Представленные на рисунках ситуации различаются только взаимным расположением векторов силы и перемещения. Точнее, углами между этими векторами.

Общее выражение для работы силы при перемещении тела выглядит так:

, где – угол между векторами и.

По условию задачи, модули векторов и одинаковы во всех представленных на рисунке ситуациях. Следовательно, различие в работе связано только с величиной и знаком.

Решение

На рисунке (a) угол (сила и перемещение перпендикулярны), значит,. Проекции силы на направление перемещения нет, следовательно, работа.

На рисунке (b) угол (сила и перемещение противоположно направлены), и работа.

На рисунке (c) угол (сила и перемещение направлены одинаково), и работа.

На рисунке (d) угол (проекция силы на горизонтальную ось направлена противоположно перемещению), и работа, но больше работы в ситуации (b).

Ответ

Итак, наибольшая работа в случае (c), работа, затем следует случай (a): работа, далее случай (d): работа, последним в списке будет случай (b): работа и максимальна по модулю.

Правильный вариант списка – третий [c, a, d, b].

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать определение работы и формулу .

Уметь находить проекцию силы на направление перемещения.

Понимать: работа зависит от силы, перемещения и их направлений. Работа может быть как положительной, так и отрицательной, физический смысл этого – способствует сила перемещению или препятствует ему.

Примеры работы сил тяги, трения, нормальной реакции опоры

Рассмотрим некоторые примеры того, как силы выполняют работу.

Нет специфических правил для каждой силы, они все подчиняются одному выражению. В каждом случае для нахождения работы мы должны узнать силу, перемещение и их направления. Мы лишь можем заметить тенденции, что чаще всего (но не всегда) работа силы тяги положительна, потому что в большинстве случаев тело движется туда, куда мы его тянем; чаще всего (но не всегда) работа силы трения отрицательна, т.к. направлена против направления движения скользящего тела; чаще всего (но не всегда) тела движутся вдоль поверхности, в то время как сила реакции опоры направлена перпендикулярно ей, поэтому работа силы реакции опоры равна нулю. Но это лишь тенденции, которые говорят, как бывает чаще всего, мы же подчиняем все случаи одному закону и находим однозначный ответ на вопрос.

Задача

Рыбак везет сани с богатым уловом. Полная масса саней и рыбы 50 кг. Рыбак тянет сани за веревку, прилагая силу 120 Н.

(a) Какую работу он совершит на пути 5 м при горизонтально натянутой веревке?

(b) Какую работу он совершит на том же пути при?

(c) В точке с координатой перестает тянуть сани. Сила трения саней о лед остановит сани в положении. Найти работу силы трения.

Анализ условия

Случаи (a) и (b) отличаются только углом θ, поэтому мы находимся в условиях предыдущей задачи: модули силы и перемещения одинаковы и значения работы отличаются только из-за.

В случае (c) работу совершает другая сила (сила трения) и перемещение не задано, его требуется вычислить.

Сила трения задана и направлена противоположно перемещению, а модуль перемещения легко определить – это разность координат.

Во всех случаях решение основано на определении работы

Решение

(a), следовательно, сила направлена так же, как перемещение. В этом случае () и работа вычисляется просто как произведение модулей силы и перемещения.

(b),
. Работа

(c),,,

Ответ

(a) , (b), (c).

Задача

Лифт начинает движение вниз и через 3 с достигает скорости 1,5 м/с. Найти работу силы реакции опоры за это время, если масса груза в лифте равна 140 кг.

Решение

Задача на работу. Работа находится как. Сила реакции опоры направлена вертикально вверх, движение лифта – вертикально вниз, значит, угол между силой и перемещением равен 180°, и. Можем запомнить и сразу записывать, что, когда сила и перемещение направлены противоположно, работа равна минус силе на перемещение.

Тело движется с ускорением под действием разных сил, и мы можем применить второй закон Ньютона и формулы кинематики.

Из закона Ньютона , из кинематики , подставляем. Получаем 

Задача

В кузове грузовика находится 120-килограммовый ящик. Грузовик движется с ускорением. Ящик не скользит в кузове, пока грузовик проезжает расстояние. Какую работу совершает каждая из действующих на ящик сил?

Анализ условия

Направим ось x горизонтально в направлении движения грузовика, а ось y вертикально.

На рисунке b указаны все силы, действующие на ящик: (1) вес ящика; (2) сила реакции опоры; (3) сила трения покоя, которая направлена вперед и не дает ящику соскользнуть назад, когда грузовик ускоряется.

Вес и нормальная реакция опоры перпендикулярны направлению движения, поэтому работы не совершают. Работу совершает только сила трения покоя, направленная в сторону движения грузовика.

Чтобы найти силу трения покоя, отметим, что ящик не скользит в кузове, следовательно, его ускорение такое же, как у грузовика. Это ускорение сообщает ящику сила трения покоя, которую мы можем определить из второго закона Ньютона, т.к. нам известны и ускорение, и масса ящика.

Направление силы трения покоя и перемещения ящика совпадают, поэтому работа силы находится по определению как произведение модуля силы на модуль перемещения.

Решение

По второму закону Ньютона, модуль силы трения покоя.

Работа силы трения на перемещении s, по определению, равнаЭта работа положительна, потому что сила трения и перемещение направлены одинаково.

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать определение и формулу для вычисления работы.

Уметь

1) определять угол между силой и перемещением;

2) определять проекцию силы на перемещение.

Мощность

Когда мы оцениваем качество работника (или механизма, или двигателя), нам мало руководствоваться только тем, какую работу он выполнил. Нас еще интересует, как быстро он ее выполняет. Для характеристики быстроты выполнения работы вводится величина мощность. Мы уже сталкивались с величинами, характеризующими быстроту (скоростью, ускорением), поэтому знаем, что быстрота изменения какой-либо величины – это изменение величины, деленное на промежуток времени, на протяжении которого величина изменялась. Так же и мощность – это работа, деленная на время ее выполнения, . Единица мощности называется ватт (Вт).

Задача

Какую мощность развивает сила тяжести в процессе падения кота массой 2 кг с дерева высотой 3 м?

Решение

Задача на мощность, используем определение мощности как быстроты совершения работы: . Работа – это сила на перемещение (сила тяжести направлена вниз, перемещается кот тоже вниз). Для задач на движение мы можем также применять законы кинематики. Для нахождения мощности у нас нет времени движения. Что это за время, что в течение него произойдет? За это время кот, двигаясь равноускорено, пройдет путь 3 м. Запишем связь пути и времени:

Задача

Найти среднюю полезную мощность при разбеге самолета массой 1 т. Длина разбега 300 м, взлетная скорость 30 м/с, коэффициент сопротивления 0,03. Найти мощность самолета, если при достижении взлетной скорости он не взлетит, а продолжит движение с той же скоростью.

Решение

Задача на мощность, используем определение мощности .

Работа – это сила на перемещение: .

На самолет действуют сила тяги, сила сопротивления среды, сила тяжести и сила реакции опоры.

По второму закону Ньютона, равнодействующая сил в горизонтальном направлении сообщает самолету ускорение, в проекции на горизонтальную ось координат запишем:. Тогда мощность равна .

Движение равноускоренное, запишем перемещение и скорость при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью

Получили систему уравнений решив которую, найдем мощность:.

Выразим из третьего уравнения время и подставим во второе: . Подставим в первое уравнение. Там же – это средняя скорость при равноускоренном движении, в 2 раза меньшая конечной скорости, то есть равная . Окончательно имеем .

В первом случае получим 

. Во втором случае, когда самолет продолжает двигаться постоянной набранной скоростью, т.е. без ускорения, уравнение, которое мы записали по второму закону Ньютона, примет вид:

Мощность равна– это постоянная скорость при равномерном движении. Таким образом, получим:.

Ветка. Будет ли выполняться работа, если не будет сопротивления?

Будет ли выполняться работа, если не будет сопротивления и тело будет двигаться равномерно? Если подставим k = 0 в формулу, получим 0. Действительно, по первому закону Ньютона, на такое тело либо не действуют силы, либо их действие уравновешивается. Так как при отсутствии сопротивления уравновешиваться в горизонтальном направлении нечему, то перемещение происходит без выполнения работы. Работа выполнена, когда сила разгоняла тело до той скорости, с которой тело теперь по инерции продолжает двигаться.

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать определение мощности как скорости выполнения работы . 

Уметь выделять силы, которые развивают мощность.

КПД

Теперь поговорим о коэффициенте полезного действия (КПД). Что это такое? Что такое полезное действие и как оно может быть не полезным? Мы сталкивались с этим неоднократно. Есть разные способы совершить одну и ту же работу. Вспомним рабочего, которому нужно было переносить на этаж 200 кирпичей. Если бы он обладал сверхсилой, он мог бы взять их и перенести за один раз. Но т.к. он ею не обладает, то ему нужно ходить несколько раз, уменьшив таким образом силу (вес кирпичей, взятых за один раз), но увеличив перемещение (перемещение кирпичей такое же, но совершает его рабочий многократно). Либо можно применить подвижный блок или их систему (полиспаст), которые мы обсудили на одном из прошлых уроков. Таким образом тоже уменьшится сила, но увеличится перемещение.

Что при этом является полезной работой? Это то, к чему мы стремились, что получили и извлекли пользу: работа по перемещению кирпичей на высоту этажа. Но при выполнении этой работы рабочему приходилось, помимо полезной работы, выполнять работу по перемещению себя при многократной ходьбе за кирпичами или работу по перемещению блоков, которые тоже имеют свой вес, при использовании механизмов, т.е. рабочий затратил бОльшую работу, чем только полезная работа по перемещению кирпичей. Отношение полезной работы к затраченной и будет КПД: .

В идеальном случае КПД может быть равен 1, т.е., какую работу выполняем, такой результат и получаем. В реальном мире всегда есть потери: на поднятие удочки, на трение, на поднятие подвижного блока (т.е. бесследно энергия не исчезает, закон сохранения энергии выполняется).

Найдем КПД наклонной плоскости. КПД равен отношению полезной работы к затраченной.

Силы, действующие на груз, изображены на рисунке.

Считаем, что груз тащат без ускорения, равномерно и медленно, поэтому можно применить первый закон Ньютона. Вдоль оси Ох сила уравновешивается силой трения и проекцией силы тяжести. Как мы уже неоднократно находили, для наклонной плоскости сила трения равна. Тогда.

Затраченная работа – та энергия, которую мы тратим, вытаскивая груз с силой по плоскости, значит, она равна работе силы при перемещении грузана расстояние  вдоль плоскости.

Полезная работа – это результат: тело оказалось на высоте h, т.е. работа по перемещению груза на высоту против силы тяжести:

. КПД равен:

Видно, что КПД стремится к единице, когда коэффициент трения стремится к нулю, т.е. в идеальном случае, когда нет трения и, соответственно, потерь на трение, КПД = 1.

Найдем КПД рычага, показанного на рисунке.

В идеальном случае КПД был бы равен единице, иначе закон сохранения энергии не выполнялся бы. В реальном случае всегда есть потери, как потери на трение, как в случае с наклонной плоскостью. Здесь тоже будет действовать сила трения: в точке соприкосновения с опорой во время поднятия рычага будет происходить его трение о поверхность. Но это влияние трудноучитываемое и наверняка небольшое: взаимное смещение поверхностей рычага и опоры при таком вращательном движении будет мало, работой силы трения можем пренебречь. На что еще потратится работа? На поднятие самого рычага. Чтобы поднять груз с помощью рычага, нам придется при этом поднять еще и сам рычаг.

Чтобы найти КПД, нужно анализировать работу, для которой нужно знать силы и перемещения. Что мы знаем о силах? Они уравновешиваются, значит, мы можем применить условие равновесия. Так как рычаг – тело протяженное и нам принципиально важно, где лежит груз, и к какой точке мы прикладываем силу, то применим условие равновесия для тел, известное нам из предыдущего урока, сумма моментов сил равна нулю. Момент силы – это произведение силы на плечо. Для удобства, чтобы не учитывать силу реакции опоры N, которая нам в данной задаче не интересна, будем отсчитывать моменты сил относительно точки, на которую опирается рычаг. Плечо силы F, с которой мы поднимаем рычаг, равно длине рычага, плечо силы – веса груза – равно расстоянию от груза до конца рычага. Также на рычаг действует сила тяжести, приложенная к центру тяжести, расположенному на середине рычага как однородного тела простой формы. Ее плечо будет равно . Силы Mg и mg и сила F вращают рычаг в разные стороны, значит, их моменты будут иметь разные знаки: , откуда . Эта сила будет выполнять работу. Что же будет полезной работой, что мы получим в результате? Результатом будет груз, поднятый на высоту h, т.е. полезной работой будет работа по перемещению груза массы M против силы тяжести на высоту h.

При этом конец рычага, к которому приложена сила F, переместится на.

Тогда .

Получили результат, меньший единицы (КПД станет равен единице при, т.е. в идеальном случае невесомого рычага). На самом же деле и этот результат является в некоторой степени идеализацией, т.к. не учтено трение.

Найдем теперь КПД подвижного блока. Здесь КПД также будет равен 1 в идеальном случае, в котором вся затраченная работа выполняется для достижения результата, т.е. является полезной. В реальном случае затраченная работа будет больше, т.к., помимо самого груза, мы будем также поднимать блок, который тоже имеет свою массу, и противодействовать трению, возникающему в блоке. Если трение можно уменьшить с помощью подшипников, смазок почти до нуля, то массу блока можно уменьшать только жертвуя его прочностью, что при поднятии больших грузов тоже важный фактор. Поэтому учтем потери, связанные с поднятием блока.

Мы уже изучали подвижный блок и знаем, что он позволяет прикладывать в 2 раза меньшую силу, но при этом будет совершено в 2 раза большее перемещение. Т.е. сила, которая будет совершать затраченную работу, будет через механизм уравновешиваться весом поднимаемой системы – груза и блока: . При поднятии груза на высоту h перемещение точки приложения силы F будет равно. Затраченная работа равна . Полезной работой будет работа по перемещению груза массы M  против силы тяжести на высоту h..

Получили результат, меньший единицы (КПД станет равен единице при, т.е. в идеальном случае невесомого блока). На самом же деле и этот результат является в некоторой степени идеализацией, т.к. не учтено трение.

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать:

1) закон сохранения энергии;

2) понятие КПД.

Уметь определять, какая работа является затрачиваемой, а какая – полезной.

Понимать:  в реальных механизмах всегда есть потери, поэтому КПД всегда меньше 1.

Заключение

На этом уроке мы поговорили о:

• работе;

• мощности;

• КПД.

На следующем уроке мы обсудим законы сохранения энергии.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. http://interneturok.ru/ru/school/physics/7-klass/rabota-moshnost-energija/mehanicheskaya-rabota-moschnost-zotov-a-e?seconds=0

2. http://interneturok.ru/ru/school/physics/7-klass/rabota-moshnost-energija/mehanicheskaya-rabota-moschnost-yudina-n-a?seconds=0

3. http://interneturok.ru/ru/school/physics/7-klass/rabota-moshnost-energija/reshenie-zadach-po-teme-mehanicheskaya-rabota-i-moschnost?seconds=0

4. http://interneturok.ru/ru/school/physics/7-klass/rabota-moshnost-energija/zolotoe-pravilo-mehaniki?seconds=0

5. http://interneturok.ru/ru/school/physics/7-klass/rabota-moshnost-energija/kpd?seconds=0

6. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/mehanicheskaya-rabota-moschnost?seconds=0

7. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/mehanicheskaya-rabota-moschnost-kineticheskaya-energiya-zakon-izmeneniya-kineticheskoy-energii?seconds=0

8. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/rabota-sily-tyazhesti-potentsialnaya-energiya-tela-podnyatogo-nad-zemley?seconds=0