59. Равноускоренное движение. Свободное падение (основной урок)

Движение с изменением скорости. Средняя скорость. Мгновенная скорость

Первый закон Ньютона гласит: когда на тело не действуют силы или действие сил компенсируется, оно не движется или движется равномерно (с постоянной скоростью) и прямолинейно (движение вдоль прямой). Если не удовлетворяется хотя бы один из этих признаков, значит, на тело действует сила. Сегодня мы рассмотрим случай, когда не выполняется равномерность.

Автомобиль трогается с места, увеличивая скорость; мяч катится по траве, пока не останавливается; легкоатлет делает рывок перед финишем – всё это примеры движения с переменной скоростью. Мы научимся описывать такое движение.

Пример

Скорость автомобиля была 10 м/с и потом прирастала на 3 м/с каждые 10 с. Какова будет скорость к концу первой минуты такого движения?

Решение

Скорость возрастает на одинаковую величину (3 м/с) за равные промежутки времени (каждые 10 с). Очевидно, что за 60 с скорость возрастёт на величину, в 6 раз большую, чем за 10 с, т. е. на . А т. к. скорость была равна 10 м/с, то, увеличившись на 18 м/с, она к концу первой минуты стала равна 28 м/с.

Скорость увеличивалась с определённой быстротой, а быстрота изменения скорости – это ускорение, равное изменению скорости за единицу времени.

Ветка. Ускорение

Ускорение – это изменение скорости за единицу времени: .

Скорость – векторная величина, поэтому и изменение скорости, т. е. разность векторов конечной и начальной скорости, является вектором. Ускорение – также вектор, направленный туда же, куда и вектор разности скоростей.

Мы рассматриваем прямолинейное движение, поэтому можно выбрать координатную ось вдоль прямой, вдоль которой происходит движение, и рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на эту ось: .

В этой задаче найти скорость оказалось легко. Но при изучении движения важно знать перемещение тела, ведь основная задача механики – знать положение тела в любой момент времени. Займёмся решением этой задачи.

Пример

Скорость автомобиля была 10 м/с и потом прирастает на 3 м/с каждые 10 с и через 1 мин становится равной 28 м/с. Какой путь проехал автомобиль за 1 мин?

Решение

По определению скорости, перемещение равно . Скорость в нашем случае изменялась. Попробуем взять среднюю скорость.

Ветка. Среднее значение

Что такое среднее? Средними величинами мы пользуемся часто. Когда у вас спрашивают ваш рост, вы говорите, например, 1 м 73 см. На самом деле, он у вас колеблется приблизительно от 1,74 м утром до 1,72 м вечером, когда мышцы уставшие и позвонки сжаты, но вы об этом не говорите, вы называете среднее значение. Так же, рассказывая по телефону о погоде, вы скажете: «В обед было +8, сейчас +12, в общем, у нас около +10». Говоря о скорости чтения, мы тоже называем среднюю скорость, например, 40 страниц в час, хотя трудную для понимания страницу можем читать 2 минуты, а увлекательную «проглотить» за полминуты.

Среднее значение скорости равно и путь будет равен .

Обсудим, какую ошибку мы могли совершить при таком решении. Мы не знаем, как автомобиль менял скорость. Увидим это на примере следующей задачи.

Пример

Автомобиль едет из города А в город Б. Расстояние между городами 250 км. Сколько времени будет в пути автомобиль, если 230 км занимает автомагистраль, по которой водитель будет ехать со скоростью 110 км/ч, остальные 20 км пути пролегает через населённый пункт с ограничением скорости 60 км/ч, а ещё на час водитель без движения застрял в пробке? Найдите среднюю скорость автомобиля.

Решение

Для решения задачи нам потребуется математическое описание условия. Сказано, что за то время, пока автомобиль был в пути, он какое-то время ехал по автомагистрали, какое-то – по городу, и час стоял в пробке. Запишем: 

Движение на каждом участке пути равномерное, а для такого движения мы можем найти время из формулы . Запишем для каждого участка пути: .

Получили систему уравнений, подобные которой мы решали на уроках алгебры: 

Решив систему, получим, что всего на дорогу было затрачено .

Свёртка. Математическая часть решения задачи

Система состоит из трёх уравнений и содержит три неизвестные: , , .

Выразим из уравнений  время и подставим в первое уравнение: 

Вычислим время, проведённое в пути: .

Находя среднюю скорость, есть соблазн взять среднее между 110 км/ч и 60 км/ч и получить 85 км/ч, но это неправильно, и вот почему.

Представьте два автомобиля. Оба автомобиля начинали движение со скорости 50 км/ч и закончили на скорости 100 км/ч. Первый автомобиль проехал с меньшей скоростью лишь ПЕРВЫЕ 10 % пути и затем ускорился. Второй автомобиль перешёл на скорость 100 км/ч только на последних 10 % пути. Среднее арифметическое скоростей автомобилей – 75 км/ч, но понятно, что средние скорости автомобилей будут отличаться, первый автомобиль ехал в среднем быстрее.

По определению скорости, средняя скорость движения равна всему перемещению, делённому на всё затраченное на него время: 

.

Итак, вернёмся к нашей задаче о нахождении перемещения. Усреднив значение скорости, можно допустить ошибку.

Мы приняли среднюю скорость как среднее арифметическое начальной и конечной скорости и получили перемещение как площадь заштрихованной фигуры на графике .

Но скорость теоретически могла увеличиться скачком как сразу после начала движения:

Так и непосредственно перед окончанием:

На рисунках мы видим, что ошибка может быть большой.

Чтобы её уменьшить, увеличить точность, давайте разобьём движение на интервалы по 10 с.

По условию на каждом таком интервале скорость возрастала на 3 м/с. Отметим на графике точки через каждые 10 с.

Теперь на каждом интервале мы можем посчитать перемещение так, как мы сделали на всём пути: взять среднюю скорость на интервале и умножить её на длительность этого интервала, а всё перемещение будет равно сумме перемещений за каждые 10 с.

В пределах каждого интервала мы так же не знаем, когда именно произошёл рывок скорости:

Поэтому на каждом интервале будет погрешность аналогичной природы, но она, как мы видим на рисунке, уже не будет такой большой.

Давайте разобьём движение на малых интервалов, длительность каждого равна .

Скорость на первом интервале равна, на каждом следующем будет увеличиваться на . Из алгебры мы знаем, что это арифметическая прогрессия с разностью прогрессии , .

Ветка. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Арифметическая прогрессия задается двумя параметрами: начальным членом прогрессии и разностью прогрессии. Тогда последовательность записывается так: 

.

Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: .

Эта скорость будет СРЕДНЕЙ СКОРОСТЬЮ на данном интервале и МГНОВЕННОЙ СКОРОСТЬЮ для всего пути.

Ветка. Средняя и мгновенная скорость

Мгновенное значение скорости – это то значение, которое мы в данный момент можем видеть на спидометре. Практически скорость в момент времени t – средняя скорость, вычисленная с точностью, достаточной для решения поставленной задачи.

Для решения задач часто нужна математическая модель и в ней нужно использовать функцию v(t), то есть скорость в момент времени t, мгновенную скорость.

Мгновенная скорость в момент t – предел средних скоростей на уменьшающихся интервалах времени, содержащих точку t.

В математической модели считается, что в любой момент времени мгновенная скорость находится абсолютно точно по формуле .

Перемещение на каждом n-м интервале будет равно: .

Найдём перемещение за всё время движения как сумму перемещений за каждый интервал: .

Т. к. мы разбили движение на много интервалов, то можно считать, что , тогда: .

Теперь у нас готовы два главных инструмента решения задач на РУД: 

Пример

С каким интервалом оторвались от крыши две капли, если спустя 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями равно 25 м? Ускорение свободного падения .

Решение

Перепишем условие: вторая капля летела 2 с, а первая – на секунд дольше: .

Капля 1 за времяпролетела расстояние, а капля 2 за время- расстояние, которое на 25 метров больше:

причем 

Падение капель – это равноускоренное движение с ускорением g. Расстояние, которое пролетела каждая капля, равно: .

Применив эту формулу для расстояний, пройденных каплями, получим уравнение: .

Решив его, можем найти интервал.

Свёртка. Математическое решение задачи

, тогда: 

Подставим , тогда: 

Ответ -5 с означает момент времени ещё до начала движения и не удовлетворяет условию. Правильный ответ: 1 с.

Вернёмся к понятию средней скорости.

Мы видели, что чем меньше интервал, на котором мы вычисляем среднюю скорость, тем точнее она определяется на данном интервале. Для повышения точности можем уменьшать интервал времени, пока он не станет достаточно малым, чтобы средняя скорость на его протяжении казалась неизменной. Это будет мгновенное значение скорости – значение, которое мы в данный момент можем видеть на спидометре.

Для решения задач часто нужна математическая модель и в ней нужно использовать функцию , то есть скорость в момент времени – мгновенную скорость, которую, считаем в данной модели, можно найти по формуле абсолютно точно.

Мгновенная скорость в момент – предел средних скоростей на уменьшающихся интервалах времени, содержащих точку.

Для решения задач на равноускоренное прямолинейное движение нужно:

Знать

1. Определение ускорения как быстроты изменения скорости: .

2. Формулу для перемещения при равноускоренном движении: .

Уметь

1. Применить формулы для равноускоренного движения для конкретной задачи.

2. Выбрать систему координат и перейти к проекциям скорости и ускорения в этой системе.

Понимать

1. Равноускоренное движение полностью описывается двумя уравнениями, остальные закономерности можно получить, решая систему, составленную с использованием этих двух уравнений.

Решение задач на равноускоренное движение

Ветка. Задача с отрицательным ускорением

Решим такую задачу.

Найдите ускорение автомобиля, если он, начиная движение со скоростью 36 км/ч, движется до полной остановки 15 с.

По определению тело движется с ускорением: .

Начальная скорость дана 10 м/с, конечная – 0 м/с (полная остановка), осталось вычислить ускорение: .

Продолжение ветки. Перевод скорости в СИ

Чтобы перевести единицы измерения скорости в СИ, можно воспользоваться определением скорости: 

Скорость, например, 36 км/ч означает, что тело прошло путь за время. Скорость равна .

Аналогично можно перевести скорость из СИ в км/ч.

Скорость 15 м/с означает, что тело прошло путь  за время . Скорость равна .

Продолжение ветки. Обсуждение результата

Что значит «отрицательное значение ускорения»? Ускорение – векторная величина. Вектор на плоскости по определению представляет пару чисел, называемых проекциями вектора. Каждая из проекций является числом, которое имеет знак, что будет означать направление проекции. Но про пару чисел нельзя сказать, какого она знака.

Векторы могут быть противоположно направлены или в алгебраической форме один вектор, а другой.

При прямолинейном движении координатную ось удобно направить вдоль направления движения. В только что решённой задаче ускорение имело знак, противоположный знаку начальной скорости, значит, было направлено против направления начальной скорости, что означает замедление,.

ПРОЕКЦИЯ ускорения ИМЕЛА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ ЗНАК!

Слово «торможение» используется для названия процесса, при котором уменьшается  модуль скорости!

Продолжение ветки. Отрицательные числа и произвол в выборе направления оси координат

Число – объект и инструмент математики. Отрицательные числа – элементы общего механизма под названием МАТЕМАТИКА. Вне математики они не имеют означаемого объекта, как ничего не значит мягкий знак вне слова или деталь машины вне её. Отрицательного количества нет.

Приведём примеры из физики. Температура  означает, что эта температура на  меньше, чем температура замерзания воды; увеличение массы на кг значит уменьшение массы на кг, но кг – такой массы нет; отрицательная скорость означает, что она направлена против ВЫБРАННОГО положительного направления оси координат (в самой машине мы просто видим значение скорости на спидометре). То же относится к перемещению и ускорению, знак будет иметь смысл в зависимости от выбора системы координат. Продемонстрируем на примере предыдущей задачи.

Векторы начальной, конечной скоростей и ускорения ориентированы, как показано на рисунке.

Направим ось координат вдоль траектории вправо. В выборе системы координат у нас есть свобода, но выбрав ту или иную систему, мы работаем строго в ней. Скорость в нашем случае сонаправлена с осью, поэтому будет положительной. Разность векторов скорости будет направлена против оси, поэтому ускорение отрицательно. При этом перемещение будет положительным (точка х находится дальше по ходу оси).

Теперь направим ось влево.

Скорости теперь направлены против оси, т. е. отрицательны. Их разность, а с ней и ускорение, стала положительной. Перемещение стало отрицательным, лежит дальше по ходу оси, её значение больше.

При разном выборе системы координат мы получали разные математические описания физического процесса, но сам процесс от этого не меняется.

Пример

На последнем километре тормозного пути скорость поезда уменьшилась на 10 м/с. Определите скорость в начале торможения, если общий тормозной путь поезда составил 4 км, а торможение было равнозамедленным.

Решение

Для решения задачи важно правильно математически описать условие. На последнем километре пути скорость уменьшалась с 10 м/с до нуля, по определению ускорение равно: .

Поезд при этом прошёл путь 1 км, который выражается: .

Весь тормозной путь поезда, как и последний его километр, представляет собой равноускоренное движение на протяжении времени t с тем же ускорением: 

Получили систему из 4 уравнений с 4 неизвестными (), среди которых искомая начальная скорость торможения.

.

Остается только решить систему уравнений и получить начальную скорость: .

Ветка. Решение задачи в другой системе координат

Можно считать момент остановки поезда началом отсчёта, тогда мы изменим направление оси времени, как будто мы прокручиваем фильм назад, тогда остановка поезда будет выглядеть как разгон с нуля до скорости 10 м/с на первом километре и скорости на всём пути в 4 км.

Движение на первом километре будет описываться уравнениями: 

Для всего тормозного пути: 

Снова получили систему из 4 уравнений с 4 переменными и при её решении получим те же .

Т. е. оба решения правильные, оба помогают найти правильный ответ, но решать в этой системе координат проще.

Для решения задач на равноускоренное прямолинейное движение нужно:

Знать

1. Определение ускорения как быстроты изменения скорости: .

2. Формулу для перемещения при равноускоренном движении: .

Уметь

1. Применить формулы для равноускоренного движения для конкретной задачи.

2. Выбрать оптимальную систему координат.

Понимать

1. Равноускоренное движение полностью описывается двумя уравнениями, остальные закономерности можно получить, решая систему из этих двух уравнений.

2. Скорость – это перемещение за единицу времени. Перемещение – вектор, значит, скорость – тоже вектор.

Графики равноускоренного прямолинейного движения

Бывает удобно описать движение графически, исследуя зависимости координаты, скорости или пути от времени. Мы рассматриваем графики для прямолинейного движения, поэтому можно выбрать систему координат, в которой у векторов перемещения, скорости, и ускорения будет лишь одна ненулевая проекция. Мы будем работать с этой проекцией. График наглядно демонстрирует, какое значение имеет величина в заданный момент времени. Равноускоренное движение – это движение, при котором скорость тела меняется линейно.

Уравнение этой зависимости легко получить из определения ускорения:, ее график – прямая с наклоном, равным проекции ускорения, и пересекающая ось ординат в точке.

Когда проекция ускорения отрицательна, функция убывает, при положительном функция возрастает.

При переходе к системе координат, в которой ось направлена в противоположную сторону, знаки начальной скорости и ускорения поменяются.

Рассмотрим график зависимости перемещения от времени. Это квадратичная зависимость, а мы знаем, что её график имеет вид параболы.

Давайте на нескольких примерах научимся интерпретировать такие графики.

В начале движения перемещение равно нулю (тело ещё не начало движение и не успело переместиться). Мы помним, что наклон графика перемещения связан со скоростью, тело в начальный момент времени обладало определенной начальной скоростью, сонаправленной с осью х (тело в начальный момент времени движется в сторону возрастания s). Далее наклон графика уменьшается, значит, скорость уменьшается (проекция ускорения отрицательна), пока в момент не становится равна нулю. После этого скорость меняет знак и тело движется в другую сторону. С этого момента знак скорости и ускорения совпадает и модуль скорости увеличивается. С учетом сказанного о скорости (в начальный момент времени положительная, затем убывание до нуля в момент времени), можем изобразить график для данного тела:

Если изображены пересекающиеся графики для двух тел, это значит, что в момент времени, соответствующий точке пересечения, тела проделают одинаковое перемещение, т. е. тела встретятся (если они начали движение в одной точке).

Обратите внимание, что график для ПУТИ будет отличаться от графика для ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. Мы помним, что пройденный путь не может быть отрицательным, он всегда увеличивается, в какую сторону ни двигалось бы тело. Поэтому после момента, когда направление движения меняется, путь продолжит увеличиваться, а график примет следующий вид:

Координата тела равна, значит, график координаты будет отличаться от графика перемещения только тем, что будет смещён вдоль оси ординат на величину и будет начинаться из этой точки.

Рассмотрим графики для двух тел, которые одновременно начинают движение. В начальный момент времени у обоих тел скорость равнялась нулю, затем возрастала (видим по наклону графика). Скорость первого тела возрастает быстрее, значит, ускорение первого тела больше.

Теперь рассмотрим график ускорения. Оно постоянно:, график его зависимости от времени будет иметь следующий вид:

Графики 1 и 2 описывают случаи, когда проекция ускорения соответственно положительна и отрицательна.

Пример

Задан график зависимости. Какой из графиков перемещения описывает данное движение?

Решение

На первом графике в начальный момент времени перемещение не равно нулю, чего быть не может (ненулевой в начале движения может быть координата). Начальная скорость тела отрицательна, значит тело сразу после начала движения будет двигаться против направления оси ординат. Из оставшихся 4 графиков этому условию соответствуют графики 3 и 5.

Оба графика показывают уменьшение модуля скорости до нуля и изменение направления движения. На заданном графике скорости видно, что это произойдёт в момент, это соответствует графику № 3.

Пример

Тело начинает двигаться из точки с координатой так, что его скорость меняется, как показано на графике. Запишите зависимость, найдите координату тела через 2 с после начала движения.

Решение

На графике видно, что скорость возрастает линейно, значит, движение равноускоренное. Для этого вида движения мы знаем формулу перемещения: , а координата равна: .

Теперь, чтобы записать зависимость, остаётся узнать начальную координату, начальную скорость и ускорение. Начальная координата дана в условии. Начальную скорость находим на графике – это скорость в момент времени t = 0,. Ускорение тоже можем найти из графика, зная определение ускорения: . Т .к. оно одинаково на любом отрезке пути, возьмём самый удобный для вычислений: от 0 с до 2 с, скорость в эти моменты будет равна соответственно  и . Ускорение равно: .

Все необходимые значения получены, можем записать: .

Это уравнение позволяет найти координату тела в любой момент времени. Через 2 с координата будет равна: .

Для решения задач с графиками нужно:

Знать

1. Определение ускорения как быстроты изменения скорости:.

2. Формулу для перемещения при равноускоренном движении: .

Уметь

1. Связывать на графике перемещение, координату, скорость или ускорение с моментом времени, в который производится наблюдение.

2. Связывать величины перемещения, скорости и ускорения и параметрами графиков (наклон графика, значение функции в момент t).

Понимать

1. На графике перемещения наклон графика в каждой точке интерпретируется как скорость, стремительность изменения этого наклона – как ускорение. График зависимости перемещения от времени не показывает траекторию движения, а показывает перемещение тела в каждый момент времени.

2. На графике скорости наклон графика интерпретируется как ускорение.

Свободный полёт

Один из часто встречающихся в жизни примеров равноускоренного движения – это свободное падение. Мы знаем, что свободно падающее тело со временем увеличивает свою скорость: чем с большей высоты падает камень, чем дольше он летит, тем больший удар наносит при падении, тем бОльшую скорость приобретает.

Т. к. свободное падение тоже является равноускоренным движением, то оно подчиняется тем же законам, и мы применяем к нему те же формулы: определение ускорения и формула для перемещения. Задача о каплях, которую мы решили раньше, описывала свободное падение. Особенностью является то, что ускорение при свободном падении вблизи поверхности Земли является постоянной величиной для всех тел и составляет . Направлено это ускорение всегда вертикально вниз. Обычно ускорение свободного падения обозначают буквой g и иногда в задачах округляют до значения .

Ветка. Независимость ускорения свободного падения от массы тела

Из закона всемирного тяготения можно выразить ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли: .

Ускорение свободного падения зависит только от массы Земли и расстояния до центра Земли (на небольшой высоте считаем его равным радиусу Земли) и не зависит от падающего тела. Таким образом, все тела падают с одинаковым ускорением.

Почему мы наблюдаем обратное? Например, пушинка падает медленнее металлического болта, а парашютист после раскрытия парашюта – медленнее, чем до раскрытия. Дело в том, что на падающие тела действует дополнительно сила сопротивления воздуха. Сопротивление воздуха зависит от формы тела и пропорционально квадрату скорости. В безвоздушном пространстве это влияние пропадает, и тела действительно падают с одинаковым ускорением.

https://www.youtube.com/watch?v=_DS30z4UgWs

В задачах обычно рассматривается движение тел, на которые влияние сопротивления воздуха достаточно мало, чтобы им пренебречь.

Продолжение ветки. Задача с сопротивлением воздуха

Пример

Масса парашютиста 70 кг. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости, коэффициент пропорциональности составляет при раскрытом и нераскрытом парашюте соответственно и . Найдите, насколько уменьшится установившаяся скорость полёта парашютиста после раскрытия парашюта.

Перепишем условие. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости: .

Установившаяся постоянная скорость значит, что сила тяжести и сопротивление воздуха уравновешены до раскрытия парашюта: и после раскрытия: .

Скорость уменьшилась на: .

Осталось решить систему уравнений: 

Свёртка. Математическое решение

Из первых двух уравнений системы выразим скорости: 

Найдём их разность: 

Пример

Тело бросают вертикально вверх со скоростью. Через сколько секунд тело окажется на высоте?

Решение

Высота, на которую поднимается тело, является его перемещением. Направим координатную ось вертикально вверх, чтобы направление перемещения совпадало с направлением оси.

Перемещение имеет вид:

или

Перемещение в выбранной системе координат запишем в виде: .

В искомый момент времени тело будет на высоте. Запишем: .

На этом применение законов физики закончилось, у нас квадратное уравнение с одной неизвестной, которая и является искомой в задаче. Решим это уравнение: .

Вычислим дискриминант: .

Здесь может быть три случая: , тогда уравнение имеет 2 корня

, тело окажется на данной высоте дважды: при движении вверх и обратно;

, тогда уравнение имеет 1 корень,, тело будет находиться на данной высоте один раз, это будет максимальная высота подъёма;

, тогда уравнение не имеет корней, тело не долетит до заданной высоты.

Ветка. Энергетическая интерпретация решения

Дискриминант равен. Что означает физически его сравнение с нулём? Умножим обе части на половину массы тела и получим сравнение и, т. е. начальной кинетической энергии тела и потенциальной энергии на высоте h!

: начальная кинетическая энергия больше, чем энергия, достаточная для поднятия на высоту h, значит тело поднимется выше, а данную точку пройдёт 2 раза.

: начальной кинетической энергии как раз достаточно для поднятия на высоту h, поэтому эта высота будет максимальной и тело окажется в этой точке один раз.

: начальная кинетическая энергия тела недостаточна для поднятия на высоту h, тело не будет находиться в этой точке.

Для решения задач на свободное падение нужно:

Знать

1. Определение ускорения как быстроты изменения скорости: .

2. Формулу для перемещения при равноускоренном движении .

3. Ускорение свободного падения – одинаковая для всех тел величина (вблизи поверхности Земли).

Уметь

1. Применять законы равноускоренного движения для конкретной задачи.

2. Выбрать оптимальную систему координат.

Понимать

1. Свободное падение – это частный случай равноускоренного движения, поэтому оно описывается теми же законами.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Мы часто встречаем движение под углом к горизонту. Футболисты бьют мяч под некоторым углом; дети, играя в снежки, выбирают разные направления для дальнего броска или почти в упор; стрелок целится чуть выше мишени.

Как движется мяч после удара футболиста? Он взлетает вверх и падает вниз, одновременно смещаясь горизонтально в направлении удара. Это похоже на то, как если бы мы шли поперёк эскалатора: одновременно с нашей ходьбой он бы относил нас в сторону.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить в проекциях на оси координат. Это легко представить как движение двух теней от движущегося тела.

Отметим, что слово ПРОЕКТОР означает «создающий проекцию».

Движение тела, брошенного вертикально вверх, – это лишь вертикальная проекция движения.

Такой выбор системы координат удобен тем, что в ней ускорение свободного падения g имеет одну проекцию, а движение по оси х равномерное.

Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как сумму двух НЕЗАВИСИМЫХ движений: равноускоренного по вертикали и равномерного по горизонтали.

Это значит, что вектор перемещения равен сумме векторов вертикальной и горизонтальной составляющей и имеет координаты (как и вектор скорости

Проекции этих векторов описываются хорошо известными нам законами. Равномерное движение вдоль оси: 

Равноускоренное движение вдоль оси: 

Пример

Камень бросили горизонтально со скоростью 15 м/с с третьего этажа (высота 10 м). На каком расстоянии от дома упадет камень и какой в этот момент будет его скорость?

Решение

Сперва выберем систему координат. Удобно направить оси так, чтобы камень двигался в положительном направлении осей, как показано на рисунке.

Затем перепишем условие в виде уравнений. Траектория камня – это сумма двух движений: равномерного прямолинейного по и свободного падения по. Запишем это:

Запишем также скорость тела:

В задаче дано:

За время падения тело пролетит вниз по оси расстояние, равное высоте:. Кроме того, поскольку начальная скорость направлена горизонтально, её проекции равны:,. Остаются неизвестными,, которое и есть искомая дальность полёта, и

, которая находится как длина вектора.

В итоге имеем систему уравнений, которую остается только решить и найти и: .

Свёртка. Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения время падения: . Подставив время во второе уравнение, можно найти дальность полёта: .

Подставив время в третье уравнение, найдём скорость в момент падения: .

Пример

Тело бросили с поверхности земли со скоростью под углом к горизонту, после чего оно упало через м от места броска. Под каким углом к горизонту бросили тело?

Решение

Выберем систему координат. Удобно будет поместить начало отсчёта в точку, откуда тело начинает движение, и направить оси так, чтобы направление броска было положительным в обеих проекциях, как показано на рисунке.

Перепишем условие в виде уравнений. Траектория тела – это сумма двух движений: равномерного прямолинейного по х и свободного полета по у. Запишем это:

Запишем также скорость тела:

В задаче дано:

За время полета T тело совершит нулевое перемещение вдоль оси у, (оно вернётся на поверхность земли, т. е. высоту, с которой было брошено), а по оси х – переместится на расстояние, равное дальности полета:. Проекции начальной скорости на оси х и у равны соответственно:,. Проекция ускорения g на ось у отрицательна, т. к. ускорение направлено против выбранного направления оси у.

Остаются неизвестными T и, который и есть искомый угол броска. Для нахождения достаточно решить систему из двух уравнений для перемещения:

.

Свёртка. Математическая часть решения задачи

Найдём из второго уравнения системы время полёта: 

В первом уравнении можем разделить обе части на: 

Подставим сюда время Т:

Ветка. Траектория движения

Найдём для решённой нами задачи уравнение траектории движения. Траектория – это линия в пространстве, строится в координатах х, у.

Нами была получена система уравнений: .

Выразим из первого уравнения t и подставим во второе уравнение: , .

Получили зависимость – квадратичная функция, график которой – парабола: .

Тело может быть брошено под углом к горизонту с балкона, при этом бросать могут под углом вниз и т. д. – это отразится только на той стадии, когда мы применяем общие законы для конкретной задачи. Например, при броске с высоты по сравнению с предыдущей задачей изменится лишь перемещение вдоль оси за время полёта: оно направлено вниз (против оси) и равно.

Для решения задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, нужно:

Знать

1. Определение ускорения как быстроты изменения скорости: .

2. Формулу для перемещения при равноускоренном движении: .

3. Ускорение свободного падения – одинаковая для всех тел величина (вблизи поверхности Земли).

Уметь

1. Применять законы равноускоренного движения для конкретной задачи.

2. Выбрать оптимальную систему координат.

Понимать

1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на проекции, в которых оно будет представлять собой хорошо нам известные равномерное и равноускоренное движения.

Заключение

На этом уроке было рассмотрено равноускоренное движение и его графики, свободный полёт как частный случай равноускоренного движения. Кроме того, движение тела под углом к горизонту.

На следующем уроке будут рассмотрены движение по окружности и ускорение при таком движении.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

2. Урок «Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

3. Урок «Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

4. Урок «Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

5. Урок «Лабораторная работа и исследование равноукоренного движения без начальной скорости» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

6. Урок «Решение задач на определение ускорения мгновенной скорости и перемещения при равноускоренном прямолинейном движении» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

7. Урок «Решение задач по теме «Прямолинейное равномерное и неравномерное движение» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

8. Урок «Неравномерное движение. Средняя скорость. Мгновенная скорость» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

9. Урок «Ускорение. Равноускоренное движение. Зависимость скорости от времени при равноускоренном движении» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

10. Урок «Уравнение движения с постоянным ускорением. Поступательное движение» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

11. Урок «Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

12. Урок «Графики равноускоренного движения» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

13. Урок «Свободное падение тел» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

14. Урок «Уравнения кинематики прямолинейного движения тела с ускорением свободного падения» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

15. Урок «Задачи повышенной сложности на равнопеременное движение» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

16. Урок «Равнопеременное движение. Законы и уравнения» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

17. Урок «Задачи на движение с ускорением свободного падения» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)