14. Элементы теории относительности (основной урок)

Постулаты теории относительности

В повседневной жизни мы привыкли к тому, что время для всех и всегда течёт одинаково. На самом деле это не совсем так. Наверняка в фильмах или книгах о космических путешествиях вы видели, что время для космонавта может идти медленнее, чем на Земле. И, вернувшись, он может встретить своих детей стариками. Звучит фантастически, но это действительно так! О замедлении времени и других интересных эффектах мы узнаем сегодня, познакомившись со специальной теорией относительности.

Законы механики выполняются в любой инерциальной системе отсчёта. Пронаблюдаем это на примере. Человек, который находится в кузове движущегося с постоянной скоростью грузовика, роняет яблоко. В системе отсчёта, связанной с грузовиком, яблоко падает человеку под ноги – вертикально вниз. В системе отсчёта, связанной с наблюдателем, который стоит около дороги, – яблоко движется по параболе.

Наблюдаемое явление в двух инерциальных системах отсчета выглядит по-разному. В системе отсчёта, связанной с автомобилем – это равноускоренное падение тела без начальной скорости. В системе отсчёта связанной с наблюдателем около дороги – это комбинация равноускоренного движения по вертикали и движения с постоянной скоростью по горизонтали. Однако в обеих системах движение яблока определяется одними и теми же законами механики – законом всемирного тяготения и законами Ньютона. Простыми словами, явление может выглядеть по-разному, но сами законы механики неизменны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. А теперь давайте задумаемся: только ли механические законы одинаковы в разных инерциальных системах? Что можно сказать о других физических законах, например, о законах электродинамики?

Согласно законам электродинамики скорость электромагнитных волн в вакууме всегда равна скорости света  .
Но, согласно закону сложения скоростей в классической механике Ньютона, скорость электромагнитных волн может равняться конкретной величине  только в одной инерциальной системе отсчета. В любой другой, движущейся с некоторой скоростью  относительно нее инерциальной системе скорость электромагнитных волн будет , а не . Получается, что законы электродинамики, в отличие от законов классической механики, не согласуются с принципом относительности. Такой вывод нарушает единство физики. Получается, что законы механики мы можем формулировать в произвольной инерциальной системе, а законы электродинамики выполняются только в одной, абсолютной системе отсчета.

Как же можно совместить в одной теории и принцип относительности, и законы электродинамики? Казалось бы, нужно пересматривать либо принцип относительности, либо законы электродинамики. Но ни то, ни другое не верно. Экспериментально было доказано, что нет абсолютной инерциальной системы отсчета и законы электродинамики нельзя преобразовать так, чтобы они не менялись при переходе от одной системы отсчета к другой.

Согласовать принцип относительности с электродинамикой смог Альберт Эйнштейн в разработанной им специальной теории относительности (СТО). Однако для этого пришлось пересмотреть фундаментальные понятия пространства и времени. Наш повседневный опыт и интуиция говорят нам о том, что пространство и время абсолютны. То есть место и время конкретного события одинаковы для наблюдателя в любой инерциальной системе отсчета. Однако это не так – пространство и время относительны, они зависят от движения наблюдателя.

Теория относительности основывается на двух постулатах. Постулат – это то, что в математике мы называем аксиомой. То есть утверждение, которое в рамках некоторой теории мы принимаем как истину.

1. Все процессы в природе протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

2. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника светового сигнала.

Первый постулат – это обобщение понятия относительности в механике на все физические законы и процессы. Собственно то, ради чего и состоялась данная теория. Он вопросов не вызывает.

А вот второй постулат расходится с нашим жизненным опытом. Казалось бы, два наблюдателя, один из которых движется к источнику света, а другой от него, должны при измерении скорости света получить разные результаты. Однако это не так. В соответствии со вторым постулатом СТО скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Этот факт придает скорости света особое значение. В частности, в СТО доказывается, что скорость света в вакууме является максимально возможной скоростью передачи взаимодействий в природе.

Задача

Два фотона вылетают (со скоростью света ) из одного источника так, что направления их движения строго перпендикулярны. С какой скоростью движется один фотон относительно другого:

1. 

2. 

3. 

4. 

Второй постулат СТО гласит: «Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника светового сигнала». Скорость фотона – это скорость света. А значит, она будет одинакова в любой инерциальной системе отсчета.

Следовательно, ответ .

Относительность понятия одновременности. Эффект замедления времени

В рамках классической механики время считается абсолютным, не зависящим от системы отсчета. То есть два события, которые мы считаем одновременными на Земле, являются одновременными при наблюдении из любой другой системы отсчета, например, связанной с далекой звездой.

В СТО доказывается, что такое утверждение неверно. Одновременность нескольких событий – понятие относительное. Причина несостоятельности классических представлений, является ошибочное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую.

Проведем мысленный эксперимент. Вагон движется с постоянной скоростью, в его концы одновременно попадают два разряда молнии, оставляя отметины на вагоне (в точках  и ) и на железнодорожном полотне (в точках и ). Один наблюдатель находится в вагоне в точке , между  и . Другой наблюдатель стоит на земле в точке  между  и . Наблюдаемые ими события – два удара молнии.

Наблюдателя  световые сигналы (вспышки света) из  и  достигают одновременно. Этот наблюдатель понимает, что сигналы прошли одинаковые расстояния с одинаковой скоростью, поэтому он делает вывод: разряды в точках  и  произошли одновременно.

Теперь рассмотрим те же события с точки зрения движущегося наблюдателя . К тому моменту времени, когда сигналы достигли наблюдателя , наблюдатель  сдвинулся вправо. Поэтому сигнал от  он уже зарегистрировал, а сигнал от  до него еще не дошел. Другими словами, наблюдатель  видит сигналы от  и  не одновременно. В соответствии со вторым постулатом СТО скорость света из точек и одинакова и такая же, как для наблюдателя . Наблюдатель  делает заключение, что события (разряды молнии в точках  и ) произошли не одновременно: сначала молния ударила в переднюю часть вагона, а потом – в заднюю.

Ну а какой же из наблюдателей тогда прав, спросите вы? Самое интересное, что правы оба. А точнее, каждый из них прав в своей системе отсчета. События, являющиеся одновременными в одной инерциальной системе отсчета, не являются одновременными в другой инерциальной системе отсчета, движущейся относительно первой. Помимо этого, в разных инерциальных системах отсчета наблюдатели могут получить разные интервалы времени между двумя определенными событиями.

Опять рассмотрим вагон, движущийся вправо со скоростью . Пусть на потолке вагона закреплено зеркало и наблюдатель , который находится в вагоне, направляет лазером световой импульс с расстояния  в зеркало. Через некоторое время отраженный световой сигнал возвращается к лазеру. У наблюдателя имеются часы, и он измеряет интервал времени  между двумя этими событиями, считая, что они произошли в одном месте (в точке , в которой находится лазер). Поскольку световой сигнал распространяется со скоростью , время распространения света от точки  до зеркала и обратно равно: .

Теперь рассмотрим те же события с точки зрения наблюдателя  в системе отсчета, связанной с Землей. Для этого наблюдателя зеркало и лазер движутся вправо со скоростью , и поэтому события развиваются по-другому. К тому времени, когда свет от лазера достигает зеркала, зеркало сдвигается вправо на расстояние , где  – полное время распространения света от точки  до зеркала и обратно, измеренное наблюдателем . Очевидно, что в системе отсчёта, связанной с Землёй, свет должен пройти большее расстояние.

В соответствии со вторым постулатом теории относительности скорость света одинакова в обеих системах. Но поскольку во второй системе свет прошел большее расстояние, то измеренный наблюдателем интервал времени будет больше интервала , измеренного наблюдателем .

Чтобы найти связь между этими интервалами времени воспользуемся теоремой Пифагора: , откуда .

Поскольку , мы можем представить результат в виде . Множитель  всегда больше единицы, а значит, интервал между двумя событиями, измеренный покоящимся наблюдателем, больше, чем интервал времени между теми же событиями , измеренный наблюдателем, который двигался вместе с часами в вагоне. Получается, что движущиеся часы идут медленнее покоящихся!

Возникает естественный вопрос: если считать, что вагон покоится, а со скоростью  движется система отсчета наблюдателя , тогда у кого часы идут медленнее? На самом деле так ставить вопрос некорректно, т.к. процесс протекает неодинаково в рассмотренных системах отсчета  и . В системе  события происходили в одном месте (в точке ), а в системе  события происходили в разных местах, отстоящих друг от друга на расстоянии . То есть двигалась именно система отсчета , а не . Поэтому интервал времени , измеренный наблюдателем , называется собственным, и часы идут медленнее у этого наблюдателя.

А если точнее, в системе отсчёта, связанной с наблюдателем , замедляется само время, и, следовательно, все процессы, протекающие во времени (физические, химические, биологические и т.д.). Этот эффект называется релятивистским замедлением времени. Он не только вытекает из постулатов теории относительности, но и многократно подтвержден экспериментально. Прилагательное релятивистский (от relativity – «относительность») употребляется для явлений или эффектов, заметно проявляющихся при скоростях близких к скорости света. В том числе и для эффекта замедления времени.

Задача

Недалеко от Земли пролетает космический корабль с релятивистской скоростью. В кабине корабля космонавты смотрят мультфильм, продолжительность которого в системе отсчета, связанной с кораблем, составляет минут. Как оценит длительность киносеанса наблюдатель в системе отсчета, связанной с Землей?

1. минут  

2. Больше минут          

3. Меньше минут          

4. Однозначного ответа дать нельзя

Рассуждения

- в условии сказано, что корабль движется с релятивистской скоростью, это означает, что его скорость в системе отсчёта, связанной с Землёй, близка к скорости света.

- значит, будет наблюдаться эффект релятивистского замедления времени.

Решение

Пусть  – это интервал времени, равный продолжительности фильма, определенный в системе отсчета корабля (в этой системе фильм покоится), тогда минут.

 – интервал времени, равный продолжительности фильма, определенный в системе отсчета, связанной с Землей (относительно Земли фильм движется). Тогда . Знаменатель последнего выражения при любом значении меньше единицы, следовательно,  минут.

Правильный ответ: вариант . Больше минут.

Задача

Спутники ГЛОНАСС летают вокруг Земли по круговым орбитам со скоростью около . Скорость эта определена в системе отсчёта, связанной с центром Земли и не вращающейся относительно сферы неподвижных звёзд. Оцените, на какое время должны отставать за сутки атомные часы на спутнике ГЛОНАСС от таких же часов, расположенных на Земле? (точность хода этих часов не хуже в сутки)

Давайте проанализируем условия:

- спутники движутся в системе отсчёта, связанной с Землей,

- исходя из СТО, будет наблюдаться эффект релятивистского замедления времени.

Решение

Запишем закон релятивистского замедления времени: .

 – это промежуток времени в системе отсчёта, связанной с Землей.

На движущемся со скоростью спутнике этот интервал сокращается до .

Значит, часы на спутнике отстанут на . В сутках . Этот интервал времени , определенный по земным часам. Остаётся подставить числа и рассчитать ответ: .

Правильный ответ – вариант .

Эффект сокращения размеров. Релятивистское сложение скоростей

Расстояние, измеренное между двумя точками, зависит от системы отсчета наблюдателя. Собственная длина  объекта – это длина объекта, измеренная наблюдателем, покоящимся относительно объекта измерения. Длина объекта, измеренная в системе отсчета, относительно которой объект движется, всегда меньше собственной длины. Этот эффект называется сокращением размера.

Чтобы оценить сокращение длины количественно, рассмотрим космический корабль, летящий от одной звезды к другой. Это видят два наблюдателя: один на Земле, другой на космическом корабле. Земной наблюдатель покоится относительно звезд и оценивает расстояние между звездами как . С точки зрения этого наблюдателя время космического путешествия . Ввиду замедления времени космонавт по часам корабля оценит время путешествия меньшей величиной: . Поскольку космонавт достигнет звезды за время , то он будет считать, что расстояние между звездами меньше  и равно . Поскольку , результат можно записать в виде .

Итак, если покоящийся по отношению к объекту (в данном случае расстоянию между звездами) наблюдатель определил его длину как , то наблюдатель, движущийся относительно объекта со скоростью , обнаружит, что длина объекта уменьшается, по сравнению с собственной его длиной, на множитель . Стоит отметить, что сокращается только размер объекта в направлении движения.

Задача

Наблюдатель на Земле видит космический корабль на расстоянии , движущийся к Земле со скоростью . Какое расстояние от корабля до Земли определит капитан космического корабля?

Через некоторое время капитан определил расстояние до Земли , а измерение этого расстояния наблюдателем на Земле дало результат . Какой была скорость корабля в этот момент?

Рассуждения

- Расстояние, которое нам известно из условий, – это расстояние между кораблем и Землей, измеренное в системе отсчёта, связанной с Землей.

- В движущейся относительно этого расстояния системе отсчета корабля наблюдается релятивистское сокращение размеров.

- Формула, связывающая сокращённую длину в системе отсчёта, связанной с кораблём, скорость корабля и длину в системе отсчёта, связанной с Землёй, поможет ответить на оба вопроса задачи.

Решение

Запишем закон релятивистского сокращения размеров: .

Подставим данные для ответа на первый вопрос (о скорости и расстоянии в системе отсчёта, связанной с Землёй):

Для ответа на второй вопрос необходимо выразить из закона релятивистского сокращения размеров скорость системы отсчёта: .

Подставив данные из условия, получим: .

Представим, что космонавт находится в космическом корабле, движущемся со скоростью , и светит лазером в направлении движения. Для земного наблюдателя, исходя из принципа относительности, свет лазера будет распространяться со скоростью . Но мы знаем, что, по второму постулату СТО, скорость света для этого наблюдателя будет всегда равна .

Как же надо складывать скорости, чтобы получить удовлетворяющий второму постулату теории относительности результат?

Обозначим наблюдателя-космонавта , а наблюдателя на Земле – . Пусть  движется в положительном направлении оси  со скоростью  относительно наблюдателя . Мы хотим сравнить независимые измерения скорости некоторого объекта  этими наблюдателями.

Пусть  – скорость объекта , измеренная наблюдателем  с Земли. Какую скорость объекта  определит наблюдатель , находящийся в космическом корабле? В специальной теории относительности Эйнштейна относительная скорость определяется следующим выражением: . Это уравнение называется релятивистской формулой сложения скоростей.

При малых (по сравнению с ) скоростях  и  формула принимает следующий вид, то есть согласуется с классической механикой.

Вернемся теперь к вопросу о космонавте и лазере, с которого мы начали: движется в космическом корабле со скоростью относительно наблюдателя на Земле – и светит лазером вперед по движению. Свет лазера – это объект в формулах, т.е. – скорость света, испускаемого лазером, в системе отсчета земного наблюдателя. По релятивистскому закону сложения скоростей, имеем: .

Это согласуется со вторым постулатом специальной теории относительности и с экспериментальными результатами – для обоих наблюдателей ( и ) скорость, излучаемого лазером света равна .

Задача

Космический корабль Анны движется в положительном направлении оси со скоростью , измеренной наблюдателем на Земле. Корабль Бориса движется в отрицательном направлении оси со скоростью относительно того же наблюдателя. Какова скорость космического корабля Анны относительно корабля Бориса.

Рассуждения

- из условий нам известна скорость объекта – корабля Анны в системе отсчёта, связанной с Землей;

- известна скорость наблюдателя – корабля Бориса;

- чтобы найти скорость объекта (корабля Анны) в системе отсчёта, связанной с кораблём Бориса, нужно воспользоваться релятивистским законом сложения скоростей.

Решение

Запишем релятивистский закон сложения скоростей: . Подставим данные из условия и вычислим ответ: .

Релятивистская масса. Релятивистский импульс

Для правильного описания движения тел в специальной теории относительности требуется обобщить законы движения Ньютона и определения импульса и энергии. Причем сделать это надо так, чтобы при малых (по сравнению с ) скоростях обобщенные определения превращались в классические.

Обобщённое выражение для массы тела выглядит так: , где – это масса покоя (то есть масса, измеренная в той системе отсчёта, в которой тело покоится); – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью .

Выражение для релятивистского импульса выглядит следующим образом: , где  – скорость тела, а  – его релятивистская масса.

Легко заметить, что при  выражения для релятивистского импульса и массы превращаются в классические.

В релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Задание

Частица, импульс которой был равен , увеличила свою скорость вдвое. Какое суждение о новом импульсе частицы верное:

1)

2)

3)

– задание на знание выражения для релятивистского импульса. Запишем его для двух случаев.

,

,

Известно, что скорость увеличилась вдвое: .

Решив записанную систему, мы сможем оценить, как изменился импульс системы. Решение системы приведено в свёртке.

В результате получилось, что импульс увеличился более чем в два раза.

Правильный ответ – вариант .

Релятивистская энергия. Энергия покоя. Связь релятивистской энергии и импульса

Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы. А изменение массы влечёт за собой изменение полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь.

Выглядит она следующим образом: . Любой массе (движущейся или покоящейся) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя будет равна: .

Если тело движется, энергия будет равна: .

Релятивистская кинетическая энергия определяется как разность полной энергии и энергии покоя: .

Очень важный вывод релятивистской механики заключается в том, что находящаяся в покое масса содержит огромный запас энергии. Действительно, коэффициент пропорциональности между массой и энергией очень велик: .
Это утверждение имеет разнообразные практические применения, включая использование ядерной энергии. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на , то при этом должна выделиться энергия . Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.

Мы знаем, что в классической механике кинетическую энергию можно выразить не через скорость, а через импульс тела: .

В релятивистской механике выражение, связывающее энергию и импульс, выглядит так: .

Когда частица покоится (то есть ), .

А если у частицы нет массы (как например у фотона)? Тогда , т.е. фотон, не обладая массой, имеет импульс и энергию.

Задача

Электрон движется со скоростью . Найдите значения полной энергии и кинетической энергии электрона. Сравните релятивистскую кинетическую энергию с классической.

Рассуждения

- известна скорость электрона,

- по формулам для кинетической энергии в классическом и релятивистском представлении мы сможем найти их значения и сравнить.

Решение

Начнём с релятивистской кинетической энергии. Кинетическая энергия электрона равна разности полной энергии и энергии покоя: .

Полная энергия электрона: . Энергия покоя электрона: . Подставим данные и вычислим релятивистскую кинетическую энергию.

Масса электрона: .

Энергия покоя электрона: .

Полная энергия: .

Релятивистская кинетическая энергия: .

Теперь вычислим значение классической кинетической энергии: .

Таким образом, релятивистская кинетическая энергия электрона, движущегося со скоростью , больше, чем его классическая кинетическая энергия.

Заключение

Давайте подведём итоги сегодняшнего урока.

Для выполнения заданий по специальной теории относительности необходимо следующее.

Знать

1. Постулаты специальной теории относительности.

2. Основные следствия из этих постулатов – относительность времени, расстояний, понятия одновременности.

3. Выражение для релятивистского сложения скоростей.

4. Выражения для релятивистской массы, импульса и энергии.

5. Закон эквивалентности массы и энергии.

Уметь

1. Сравнивать интервалы времени в движущейся и неподвижной инерциальных системах отсчета.

2. Сравнивать расстояния, массы, определяемые в движущейся и неподвижной инерциальных системах отсчета.

3. Вычислять энергию покоя, полную и кинетическую энергию релятивистских частиц.

Понимать

СТО, пришедшая на смену классическим представлениям, содержит в себе новый взгляд на пространство и время. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения и системы отсчёта.

Область применения модели классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, по причине того, что она является максимальной скоростью передачи сигналов.

На этом уроке мы познакомились со специальной теорией относительности и рассмотрели:

- Постулаты СТО

- Эффекты замедления времени и сокращения размеров

- Релятивистский закон сложений скоростей

- Релятивистские массу, импульс и энергию.

Теперь вы можете смело приступать к решению задач по данному разделу.

На следующем уроке мы познакомимся с квантовой теорией и явлением фотоэффекта.