55. Закон всемирного тяготения (основной урок)

Закон всемирного тяготения

Заряды и массы создают поля сил. Поле – одна из форм состояния материи, то есть первичное понятие, и потому определить его через другие понятия трудно. И не нужно. Важны проявления полей, а они измеримы и хорошо описаны наукой.

Ветка. Электрическое поле

Электрический заряд, помещенный в поле другого заряда, испытывает на себе действие силы этого заряда.

Заряды могут отталкиваться или притягиваться в зависимости от того, одного или разного знака эти заряды.

При этом сила взаимодействия зарядов пропорциональна каждому заряду и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Если поместить в поле, созданное одним зарядом, некий другой заряд q, то на него будет действовать сила. Обозначим её. Поле полностью описывается напряженностью, величиной ,где  – это сила, действующая на заряд величины q, помещенный в поле. Напряженность электрического поля данного заряда в данной точке зависит только от величины заряда и расстояния от заряда до этой точки.

Массы притягиваются, при этом сила притяжения пропорциональна величине каждой из масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Это и есть закон всемирного тяготения. Сила притяжения двух масс M и m равна , где  – константа, гравитационная постоянная. Назван он всемирным, потому что любые два тела притягиваются с силой, определяемой этой формулой.

Квадрат расстояния встречается во многих физических формулах, так что это позволяет говорить о законе, связывающем величину эффекта с квадратом расстояния от источника воздействия:

Эта пропорциональность справедлива для гравитационного, электрического, магнитного действия, силы звука, света, радиации, распространяющихся от источника.

Связано это, конечно, с тем, что площадь поверхности сферы распространения эффекта увеличивается пропорционально квадрату расстояния (см. рис).

Это будет выглядеть естественным, если вспомнить, что площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса:

И тогда понятно, что сила действия от источника вдали от него должна распределяться по сфере всё большего радиуса.

При гравитационном взаимодействии двух однородных шарообразных тел расстоянием между ними считаем расстояние между их центрами.

Пример

Из всего добытого золота можно было бы сделать шар, диаметр которого всего 22 м. Плотность золота равна 19,3∙103 кг/м3. С какой силой притягивал бы вас этот шар, если бы вы подошли к нему вплотную?

Решение

Взаимодействие между золотым шаром и человеком – это гравитационное взаимодействие. Сила такого взаимодействия может быть найдена из закона всемирного тяготения: .

По условию задачи, взаимодействуют человек, чья масса равна в среднем 70 кг, и шар золота. Нам известна плотность золота, тогда его масса равна: , где  – объем шара радиусом R.

Человека можно считать материальной точкой по сравнению с шаром, а расстояние от человека до центра золотого шара равно радиусу шара.

Тогда сила взаимодействия равна: .

Подставим заданные значения и получим силу, равную 8,3 мН.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Ускорение свободного падения

Рассмотрим силу, действующую на единичную массу в поле массы M, то есть .

Это плотность силы, удельная сила на единицу массы, вспомним, что плотность – это количество вещества в единице объема, а здесь - это количество силы, действующей на единицу массы. В электрическом поле соответствующая удельная сила, действующая на единичный заряд, помещенный в данную точку поля, называется напряженностью поля.

Подставляя F из формулы закона всемирного тяготения, видим, что величина f не зависит от m: , то есть она является характеристикой самого поля, созданного массой M.

Ветка. Инерционная и гравитационная масса

Эта способность массы М создавать гравитационное поле является проявлением гравитационной массы.

Другим проявлением массы являются инертные свойства, т.е. мера изменения скорости тела (ускорения) под влиянием приложенной к телу силы.

Именно потому, что инерционные и гравитационные явления – это проявления одной и той же величины – массы, поэтому напряженность гравитационного поля эквивалентна ускорению, сообщаемому помещенным в поле массивным телам.

А из второго закона Ньютона мы знаем, что  равно ускорению массы m, на которую действует сила F, то есть f; эта удельная сила является ускорением, с которым движется тело в поле массы M.

Таким образом, ускорение – характеристика гравитационного поля, не зависящая от массы, которая движется благодаря этому полю.

Вблизи поверхности Земли () это ускорение называется ускорением свободного падения и равно  , часто обозначается .

То есть  – это сила, действующая на единицу массы в поле гравитации Земли (у ее поверхности). Потому сила тяжести, действующая на массу m вблизи поверхности Земли, равна произведению . Произведение удельной силы на единицу массы на массу.

Независимость ускорения свободного падения от массы падающего тела – это то, что доказал Галилей для гравитационного поля Земли. Оно одинаково для тяжелых и лёгких тел. Из закона Ньютона следует, как мы показали, что это справедливо для всех масс.

Пример

На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения тела равно ? Радиус Земли равен 6400 км.

Решение

По закону всемирного тяготения, на тело будет действовать сила тяжести, равная: .

Перепишем условие задачи: тело находится на некой неизвестной высоте над поверхностью Земли. Значит, расстояние между центрами тела и Земли равно радиусу Земли плюс высоте, на которой находится тело. Тогда формула примет вид: .

Ускорение свободного падения, сообщаемое телу силой, по второму закону Ньютона, равно: .

Остается выразить высоту.

Ветка. Земное притяжение ниже поверхности Земли

Мы считаем, что Земля по форме близка к шару. Можно доказать, что абсолютный шар притягивает материальную точку, находящуюся вне его, как материальная точка массой, равной массе этого шара. Если бы мы начали двигаться к центру шара по узкому туннелю, то притяжение бы равнялось притяжению, созданному шаром с радиусом, равным расстоянию до центра.

То есть притяжение части, ставшей внешней, пройденной, будет взаимно уравновешиваться.

На глубине n на материальную точку действует притяжение, созданное шаром с радиусом  (заштриховано). Сила обратно пропорциональна квадрату радиуса, но пропорциональна массе шара, которая пропорциональна кубу радиуса ().

Таким образом, сила тяжести внутри земного шара пропорциональна расстоянию до центра Земли (). Так что при достижении центра шара притяжение его станет равным нулю.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Подведем краткие итоги. Для решения задач на гравитацию нужно следующее.

Знать

1) Закон всемирного тяготения 

2) Второй закон Ньютона.

Уметь

Применять второй закон Ньютона, то есть смело выписывать все силы, действующие на тело (притяжения, реакции опоры или натяжения нитей, веревок), и приравнивать к произведению массы на ускорение, которое производят эти силы.

Понимать

Закон всемирного тяготения действует между двумя любыми массами. Ускорение свободного падения – это:

• интенсивность поля, создаваемого массой, и не зависит от массы, на которую оно действует;

• удельная (на единицу массы, помещенной в поле) сила действия гравитационного поля.

Ускорение, с которым движется тело, может создаваться только силами, действующими на него (по второму закону Ньютона).

Движение искусственных спутников

Пример

Почему не падает спутник? С какой скоростью двигается спутник по орбите?

Анализ условия

Имеем фактически два условия:

• тело движется равномерно по окружности радиуса R с некой постоянной по модулю скоростью ,

• тело находится в поле силы тяжести Земли.

Решение

Первое условие дает: тело движется с ускорением ; из второго условия ясно, что на тело в гравитационном поле Земли действует сила тяжести и, по второму закону Ньютона, оно движется с ускорением по направлению силы (к центру тяжести Земли).

Это ускорение называется ускорением свободного падения, обозначается .

Для того чтобы выполнялись оба условия, нужно .

Отсюда получаем скорость на орбите .

На невысоких орбитах  мало отличается от ускорения свободного падения на Земле.

Для удаленных орбит нужно вычислить  из закона всемирного тяготения .

Таким образом, спутник не падает, потому что ускорение, которое сообщает ему сила тяжести, – это центростремительное ускорение. Т.е. благодаря тому, что спутник движется по окружности, сила тяжести заставляет спутник не падать, а поворачивать по круговой траектории.

Пример

Каким должен быть радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли для того, чтобы он все время находился над одной и той же точкой земной поверхности на экваторе?

Решение

Перепишем условие задачи. Спутник находится над одной и той же точкой земной поверхности, значит, период обращения спутника равен периоду вращения Земли: .

При этом линейная скорость спутника равна пути, деленному на время его прохождения, в нашем случае длине окружности орбиты, деленной на период: .

Спутник движется с центростремительным ускорением, равным , которое, по второму закону Ньютона, сообщается силой притяжения Земли:

По закону всемирного тяготения, сила притяжения равна .

Т.к. центр вращения спутника совпадает с центром Земли, то расстояние между центром спутника и центром Земли в законе всемирного тяготения равно радиусу орбиты.

Получили систему уравнений, решив которую получим .

Свертка. Математическая часть решения задачи

Подставим скорость из первого уравнения и силу из третьего во второе уравнение: .

Выразим радиус орбиты:

Ветка. Геостационарная орбита

В предыдущей задаче мы нашли радиус орбиты, двигаясь по которой спутник находится всегда над одной точкой земной поверхности. Эта орбита называется геостационарной, или поясом Кларка.

Ее уникальное свойство широко используется в коммуникациях, поскольку спутник всегда находится над устройством, с которым обеспечивает связь.

 Рассмотрим движение спутника подробнее.

1) На спутник действует сила притяжения Земли. Следовательно, по второму закону Ньютона, он двигается с ускорением в направлении центра Земли, то есть падает, как и все другие тела.

Его ускорение – это ускорение свободного падения –.

Но полное его движение складывается из этого падения и движения со скоростью, перпендикулярной падению.

Если бы Земля была плоской, то любое тело, брошенное с любой скоростью  с высоты h, падало бы на Землю на расстоянии .

Ветка. Движение тела, брошенного горизонтально

Действительно в плоском случае, двигаясь с ускорением свободного падения, тело достигнет поверхности за время, за которое оно упадет, то есть пройдет путь h до Земли.

Из формулы для пути при равноускоренном движении .

2) Поскольку Земля не плоская, а круглая и при определенной скорости спутник падает ровно настолько, насколько Земля закругляется, то он падает, но к Земле не приближается.

3) Спутник, облетев половину орбиты, двигается со скоростью, противоположной начальной (и равной по модулю).

То есть под действием силы притяжения (другие силы на него не действовали) он изменил импульс на противоположный: . Если просуммировать (см. рис.) проекцию силы тяжести на направление, то получим, что за время полупериода спутника .

Ветка. Гравитационный маневр

Явление изменения скорости полета тела (как по модулю, так и по направлению) называется гравитационным маневром. Мы рассмотрели частный случай – изменение скорости спутника на участке круговой орбиты. Возможны различные искривления траектории в зависимости от исходных параметров движения. Гравитационный маневр используется при межпланетных космических полетах.

Сила реакции опоры. Вес тела

Земля постоянно действует на все тела с силой тяжести, но при этом не всё вокруг нас пребывает в постоянном падении. Конечно, лежащей на столе ручке мешает падать стол, подвешенный груз удерживает нить. И стол, и нить действуют на ручку и груз с силой, которая по первому закону Ньютона уравновешивает силу тяжести. Эта сила называется силой реакции опоры (в случае с нитью – сила натяжения нити). Сила, с которой тело действует на опору или подвес, называется весом тела.

Пример

С какой скоростью нужно вращать ведро с водой, чтобы вода не выливалась? Каково натяжение веревки (длины r), держащей ведро?

Решение

Тело движется по окружности с центростремительным ускорением , значит, потребуется второй закон Ньютона.

Пусть N – натяжение веревки. Уравнение движения, по второму закону Ньютона,.

Направим координатную ось вертикально вниз и получим:

Ведро не падает, если веревка натянута, то есть . Или .

Натяжение веревки равно .

На воду действуют те же силы: натяжение веревки (передается через ведро), сила тяжести, и вместе они создают ускорение, с которым вода двигается по окружности.

Получаем для воды то же самое условие.

Ветка. Мертвая петля. Как это получается?

Самолет массы  разгоняется и описывает траекторию окружности в плоскости, перпендикулярной поверхности земли.

Для того чтобы самолет, летящий на скорости , не упал из верхней точки, нужно чтобы его ускорение было не меньше (больше или равно) ускорения свободного падения.

Ускорение создается проекцией силы тяги Т на направление к центру и силой тяжести: .

В нижней точке проекция сила тяги к центру должна преодолевать силу тяжести и создавать ускорение: .

Пример

Машина массойедет со скоростьюпо мосту, радиус кривизны которого. Какова реакция опоры моста, когда машина находится на его середине?

Решение

Мы знаем, что модуль ускорения тела, двигающегося по окружности, равен . Это ускорение придают телу действующие на него силы – применим второй закон Ньютона.

На машину действует сила земного притяжения и сила реакции опоры. Вектор ускорения направлен к центру окружности, как показано на рисунке. По второму закону Ньютона, запишем:.

Направим ось координат вертикально вверх.

Уравнение примет вид для выпуклого моста: .

И для вогнутого моста: .

Отсюда сила реакции опоры равна, в зависимости от формы моста: .

В предыдущей задаче мы получили формулу для силы реакции опоры, а значит, и для веса, который по модулю равен силе реакции опоры по третьему закону Ньютона.

Знак зависит от направления ускорения: плюс – если ускорение направлено вверх, и минус – если направлено вниз. Эту формулу легко получить, как мы это делали при решении задачи, используя второй закон Ньютона.

Пример

Вес космонавта на Земле 800 Н. Каков его вес в ракете при движении с ускорением, направленным вертикально вверх? Чему равна перегрузка?

Решение

При ускоренном движении тела вверх вес тела возрастает. Сила тяжести при этом не меняется.

На космонавта действует сила реакции опоры и сила тяжести. Под действием этих сил космонавт движется с ускорением, применим второй закон Ньютона:.

Направим координатную ось вертикально вверх, тогда в проекции на ось запишем:

По третьему закону Ньютона вес тела равен силе реакции опоры,.

Перегрузкой называют отношение веса тела к силе тяжести, действующей на это тело на Земле: 

Вес космонавта в 4 раза больше, чем в обычных условиях.

 Подведем краткие итоги. Для решения задач, подобных решенным, нужно следующее.

Знать

1) Закон всемирного тяготения .

2) Второй закон Ньютона.

3) Определение веса.

Уметь

1)  Применять второй закон Ньютона.

Понимать

Вес – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Вес не всегда равен силе тяжести, действующей на тело.

Невесомость

Сила тяжести и вес могут отличаться для одного и того же тела. Сила тяжести – сила, с которой тело притягивается Землей. Вес – сила, с которой тело действует на весы или другое тело, расположенное как весы.

Например, в воде тело весит меньше, чем на суше, но сила тяжести при этом не изменилась. Только действие на весы определяется теперь силой тяжести и силой Архимеда. Которая, впрочем, действовала и на воздухе, но была не так заметна.

Действительно, вес воздуха объема нашего тела небольшой. Так что вес не сильно зависит от погоды и перепадов атмосферного давления при ее изменении.

 Все видели, как космонавты на борту космического корабля парят в невесомости. Это происходит не потому, что на них не действует сила тяжести, как кажется на первый взгляд. Давайте решим задачу.

Пример

Почему на околоземной орбите космонавты испытывают невесомость?

Решение

Радиус Земли, высота, на которой находится МКС, – 350 км.

То есть если на Земле ускорение свободного падения , то на МКС .

То есть сила тяжести поменьше на орбите, но не намного, не настолько, чтобы ее не чувствовать и летать, как показывают по ТВ.

Итак, сила тяжести остается приблизительно такой же. При этом ускорение, обусловленное изменением скорости (направления скорости) при равномерном движении по окружности, равно и направлено к центру Земли, т.е. вниз.

Воспользуемся формулой для веса тела, которую мы уже получали при решении предыдущих задач:.

Вес космонавта равен нулю при.

Таким образом, невесомость наблюдается, когда тело движется с ускорением свободного падения. Сила тяжести сообщает одинаковое ускорение космонавту и МКС, и они между собой не взаимодействуют.

Отсюда можно получить скорость движения спутника по круговой орбите:

Скорость движения спутника по орбите на небольшом расстоянии от поверхности Земли называется первой космической скоростью: .

Это скорость, с которой должно двигаться тело, чтобы оно не упало на Землю.

 Итак, невесомость возникает, когда вес тела равен нулю, т.е. когда на него не действует сила реакции опоры. Тело движется только под действием силы тяжести, т.е. с ускорением свободного падения. Например, если лифт кратковременно разовьет ускорение свободного падения, то его пассажир испытает невесомость.

 Подведем краткие итоги. Для решения задач на невесомость нужно следующее.

Знать

1) Закон всемирного тяготения .

2) Второй закон Ньютона.

3) Определение веса.

 Уметь

1)  Применять второй закон Ньютона.

Понимать

Невесомость значит, что вес тела (сила, с которой тело действует на опору или подвес) равен нулю.

Заключение

На этом уроке мы изучили:

• Закон всемирного тяготения;

• Ускорение свободного падения;

• Движение искусственных спутников;

• Силу реакции опоры и вес тела.

Теперь вы можете приступать к решению задач на гравитацию.

На следующем уроке мы обсудим:

• Силы упругости;

• Закон Гука;

• Коэффициент жесткости.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Сила. Сила тяжести» (физика, 7 класс, раздел «Взаимодействие тел»)

2. Урок «Вес тела» (физика, 7 класс, раздел «Взаимодействие тел»)

3. Урок «Свободное падение тел» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

4. Урок «Законы всемирного тяготения» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

5. Урок «Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

6. Урок «Искуственные спутники Земли» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

7. Урок «Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

8. Урок «Гравитационное взаимодействие. Закон всемирного тяготения» (физика, 10 класс, раздел «Силы в механике»)

9. Урок «Закон всемирного тяготения» (физика, 10 класс, раздел «Силы в механике»)

10. Урок «Вес тела. Невесомость» (физика, 10 класс, раздел «Силы в механике»)

11. Урок «Закон всемирного тяготения. Движение планет и спутников» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)